前缀和与差分算法详解

前缀和与差分，互为逆运算，前缀和是构造一个新数组，新数组是旧数组的前缀和，而差分是构造一个新数组，新数组的前缀和是旧数组，这是他们之间的关系。

一维前缀和

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=100010;int a[N];
long long sum[N];//这里的long long不要丢，前缀和可能很大int main()
{int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&a[i]);}for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]=sum[i-1]+a[i];while(m--){int l,r;scanf("%d%d",&l,&r);printf("%d\n",sum[r]-sum[l-1]);}return 0;
}

记住核心的一句：
sum[r]-sum[l-1]

二维前缀和:

//子矩阵的和
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1010;
int n;//行数
int m;//列数
int q;//q个询问
int a[N][N];
long long sum[N][N];int main()
{cin>>n>>m>>q;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)cin>>a[i][j];for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)//关键1:sum[i][j]=sum[i][j-1]+sum[i-1][j]-sum[i-1][j-1]+a[i][j];for(int i=1;i<=q;i++){int x1,y1,x2,y2;cin>>x1>>y1>>x2>>y2;//关键2:cout<<sum[x2][y2]-sum[x2][y1-1]-sum[x1-1][y2]+sum[x1-1][y1-1]<<endl;}return 0;
}

一维差分

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=100010;int n;//n是长度
int m;//m个操作
int a[N];//整数序列
int b[N];//差分序列,保存的是序列每一项与前一项的差值void insert(int l,int r,int c)
{b[l]+=c;b[r+1]-=c;
}int main()
{cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];for(int i=1;i<=n;i++)b[i]=a[i]-a[i-1];while(m--){int l,r,c;cin>>l>>r>>c;insert(l,r,c);}for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=b[i]+a[i-1];for(int i=1;i<=n;i++)cout<<a[i]<<" ";return 0;
}

二维差分：

//二维差分
#include<iostream>
using namespace std;const int  N=1010;int a[N][N],b[N][N],n,m,q;void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)
{b[x1][y1]+=c;b[x1][y2+1]-=c;b[x2+1][y1]-=c;b[x2+1][y2+1]+=c;
}int main()
{cin>>n>>m>>q;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)cin>>a[i][j];for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)b[i][j]=a[i][j]-a[i-1][j]-a[i][j-1]+a[i-1][j-1];while(q--){int x1,y1,x2,y2,c;cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>c;insert(x1,y1,x2,y2,c);}for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)a[i][j]=a[i][j-1]+a[i-1][j]-a[i-1][j-1]+b[i][j];for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++)cout<<a[i][j]<<" ";puts("");}return 0;
}

前缀和比较好想，差分不太好想。想不起来的时候可以看看这个图解：