AKAZE（Accelerated-KAZE）图像特征点检测算法详解和C++代码实现示例

AKAZE（Accelerated-KAZE）是一种高效的图像局部特征提取算法，于 2013 年由 Pablo Fernández Alcantarilla 等人提出，其目的是在保持 KAZE 特征优异性能的同时显著加速特征提取过程。AKAZE 属于尺度不变特征检测与描述的算法，其在非线性尺度空间中寻找关键点，并使用特有的二值描述符加速匹配过程，广泛应用于图像配准、SLAM 和图像检索等领域。

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一、背景与发展

• SIFT（2004）：提出了基于高斯金字塔的尺度空间概念，奠定了特征检测与描述的理论基础。

• SURF（2006）：引入积分图像以加速计算，提出 Hessian-based 特征检测器。

• KAZE（2012）：首次引入**非线性扩散滤波（Nonlinear Diffusion Filtering）**构建尺度空间，使得特征更好地保留图像边缘与结构信息。

  • 缺点：KAZE 特征虽稳定，但计算量大，速度慢。

• AKAZE（2013）：优化 KAZE，通过 加速的近似非线性扩散方法（Fast Explicit Diffusion, FED） 构建尺度空间，并提出 M-LDB（二进制描述符），大幅提升速度，适用于实时系统。

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二、AKAZE 算法原理概述

AKAZE 是在 KAZE 特征算法基础上，将 非线性扩散尺度空间与 **M-LDB（二值描述子）**结合，采用 Fast Explicit Diffusion (FED) 加速非线性扩散结构，同时保持尺度与旋转不变性，并实现高效匹配 。

核心流程：

1. 构建非线性尺度空间（diffusion-based scale space）
2. 在尺度空间中检测极值点（using Hessian determinant）
3. 插值定位关键点（亚像素位置与尺度）
4. 估计主方向（基于梯度积分/质心等法）
5. 使用 M-LDB 描述子对关键点进行编码（rotation+scale invariant binary）
6. 输出关键点与描述子

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三、非线性尺度空间与 FED 推导

非线性尺度空间模型基于如下扩散 PDE：

$$\frac{\partial L}{\partial t}=\nabla \cdot \left(c(\Vert \nabla L\Vert )\nabla L\right),L(x,0)=I(x)$$

其中 $c()$ 是依赖于梯度强度的导热系数，用于平滑噪声同时保护边缘 ([projet.liris.cnrs.fr][1], [researchgate.net][3])。AKAZE 利用 FED（Fast Explicit Diffusion）离散化技术：

$$L^{(k+1)}=L^{(k)}+{\tau }_{k}A(L^{(k)})$$

通过预计算不同 ${\tau }_k$ 部分构建时间膨胀（scale levels）。尺度与时间成比例关系。

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四、关键点检测：Hessian 极值

在多尺度空间中，用 Hessian 行列式做特征检测：

$$H=\left[\begin{array}{cc}{L}_{xx}& L_{xy}\\ L_{xy}& L_{yy}\end{array}\right],\det (H)=L_{xx}{L}_{yy}-L_{xy}^2$$

在各尺度住房中检测极值点，只保留 $\det (H)>$ 阈值的特征点，类似 SIFT DoG 或 KAZE 检测 ([projet.liris.cnrs.fr][1], [researchgate.net][3])。

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五、主方向与 M-LDB 描述子

方向估计（orientation）

利用非线性尺度空间图像梯度：

• 在关键点邻域内采样梯度向量（dx, dy）
• 使用旋转窗口（如固定圆）或可选质心法估计主方向

M-LDB（二值描述子）

基于灰度差异统计，分块计算：

• 每个子区域（如 4×4），提取平均 dx, dy 和绝对值
• 将方向一致性编码为二值，构成 11×11 或 6×6 子块描述
• 总术生成 64/128bit，例如 uint64_t[2]，支持快速 Hamming 距计算 ([projet.liris.cnrs.fr][1], [diva-portal.org][4])

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六、纯 C++ 实现结构示例

大家可以按如下结构实现 AKAZE：

class AKAZE {
public:AKAZE(const Image& I, ...params...);void detectKeypoints(vector<Keypoint>& kpts);void computeDescriptors(vector<Keypoint>& kpts, vector<Descriptor>& descs);
};struct Keypoint {float x, y, scale;float response;float angle;
};typedef array<uint64_t,2> Descriptor; // 128-bit mask

核心模块：

• buildScaleSpace()：使用 FED 构造一组响应图
• detect()：扫描极值点并进行插值细化
• computeOrientation()：投票窗口或质心法
• computeMLDB()：分块采样 + 二值测试

可参考纯 C++ 实现 akaze-eigen，结构与原始 OpenCV 源代码保持一致 。

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七、AKAZE 与其他算法对比

特征算法	尺度不变	旋转不变	描述子类型	特点
SIFT	✅	✅	浮点128D	高鲁棒，慢
SURF	✅	✅	浮点64D	快，牺牲精度
ORB	部分	✅	二值256bit	快，低复杂度
AKAZE	✅	✅	二值128bit	平衡鲁棒与性能
DOME	❌	✅	二值	更轻量，但鲁棒性一般

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八、总结

• AKAZE 使用非线性扩散尺度空间 + FED 加速，保留边缘信息；
• 检测 Hessian 极值，计算主方向后生成 M-LDB 二值描述；
• 适合资源较紧但需要尺度/旋转不变的场景。

九、非线性尺度空间构建和M-LDB 描述子构建详解C++实现

1. buildScaleSpace() 非线性尺度空间构建

AKAZE 使用 非线性扩散 PDE 模型，借助 FED（Fast Explicit Diffusion） 方法近似求解：

PDE 模型

$$\frac{\partial L}{\partial t}=\nabla \cdot \left(c(\Vert \nabla L\Vert )\nabla L\right),L(x,0)=I(x)$$

其中：

• $L$ 是图像（随时间演化）
• $c(\Vert \nabla L\Vert )$ 是导热函数（控制扩散速度）
• $t$ 是“时间尺度”，可类比高斯金字塔的 σ²

常见导热函数形式（Perona-Malik）

$$c(s)=\exp \left(-{\left(\frac{s}{\kappa }\right)}^2\right)\text{或}c(s)=\frac{1}{1+{\left(\frac{s}{\kappa }\right)}^2}$$

其中 $\kappa$ 控制边缘敏感性，s 是梯度幅值 $s=\Vert \nabla L\Vert$

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FED 离散化公式

每一层尺度 $L_i$ 使用 FED 离散时间步：

$$L_{t+\Delta t_k}=L_t+\Delta t_k\cdot \nabla \cdot \left(c(\Vert \nabla L\Vert )\nabla L\right)$$

用离散卷积方式表示为：

// 对于图像 L，应用 explicit diffusion step：
L_next = L + dt_k * divergence(c * gradient(L));

FED 通过控制 $\Delta t_k$（非均匀），近似多尺度演化：

$$\Delta t_k=\tau \cdot {\sin }^2\left(\frac{\pi (k+1)}{2n+2}\right),k=0\dots n-1$$

FED 优点：允许使用较大时间步 $\Delta t_k$ 保持稳定性，提升速度。

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尺度构建结构

struct NonlinearScaleLevel {Image img;        // 演化后的图像float sigma;      // 尺度float timestep;   // t
};std::vector<NonlinearScaleLevel> buildScaleSpace(const Image& input) {std::vector<NonlinearScaleLevel> levels;Image current = input;for (int octave = 0; octave < num_octaves; ++octave) {for (int sublevel = 0; sublevel < sublevels; ++sublevel) {float sigma = computeSigma(octave, sublevel);Image diffused = applyFED(current, sigma, num_steps);levels.push_back({diffused, sigma});}current = downsample(current);}return levels;
}

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2. M-LDB 描述子构建核心逻辑

概要

M-LDB（Modified Local Difference Binary）是基于：

• 分块平均灰度/梯度方向值
• 对比成对子块间特征值（类似 BRIEF，但更加稳定）
• 输出 64-bit 或 128-bit 描述符

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步骤 1：旋转+尺度采样区域提取

假设 keypoint $K=(x,y,\theta ,\sigma )$，提取旋转对齐的 patch：

// 提取旋转 patch 并计算平均值
float cosT = cos(kp.angle);
float sinT = sin(kp.angle);
for (int i = 0; i < n_cells; ++i)for (int j = 0; j < n_cells; ++j)// compute rotated cell center: (dx, dy)// sample intensities or gradient features

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步骤 2：每个子块提取统计特征

对于每个 cell：

• 计算：

  • 灰度均值 $\mu$
  • $dx,dy$ 平均梯度
  • 梯度幅值 $|g|$

struct CellFeature {float mean_intensity;float mean_dx;float mean_dy;
};

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步骤 3：构造二值对比特征

对所有 cell 间成对比较（如下）：

$${\text{bit}}_k=\{\begin{array}{ll}1,& \text{if }{f}_i>f_j\\ 0,& \text{otherwise}\end{array}$$

对比特征示例：

• ${\mu }_i>{\mu }_j$
• $|g_i|>|g_j|$
• $d{x}_i>d{x}_j$

最后将所有位拼接成描述子，例如 uint64_t[2]（128bit）：

uint64_t desc[2] = {0};
int bit_idx = 0;
for (int i = 0; i < N; ++i)for (int j = i+1; j < N; ++j) {if (features[i].mean_intensity > features[j].mean_intensity)set_bit(desc, bit_idx);bit_idx++;// same for dx, dy, magnitude ...}

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3、小结

模块	内容
尺度空间构建	FED 显式扩散 + Perona-Malik 导热函数
特征检测	多尺度 Hessian 行列式极值
主方向估计	旋转对齐梯度/投票
M-LDB 描述子	分块均值、梯度 → 二值比较 → 生成位图

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十、参考文献

• Alcantarilla, P. F., Bartoli, A., & Davison, A. J. (2013). “Fast explicit diffusion for accelerated features in nonlinear scale spaces”, BMVC 2013.
• Alcantarilla, P. F., Nuevo, J., & Bartoli, A. (2013). AKAZE features, https://github.com/pablofdezalc/akaze

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