t检验、z检验、χ²检验中的P值
用 t检验、 z检验 、χ²检验的实际例子来解释 P值。
1. P值核心定义
P值 就是：在假设原假设（H₀）成立的情况下，我们观察到的数据（或更极端情况）出现的概率。
- P值小（如 <0.05） → 说明当前数据在原假设下不太可能发生，所以拒绝H₀
- P值大（如 >0.05） → 说明当前数据在原假设下是合理的，无法拒绝H₀
P值怎么计算来的？
2. 用Z检验（已知总体标准差）举例
场景：某工厂生产灯泡，标准寿命是1200小时（标准差σ=100）。新工艺生产了100个灯泡，平均寿命1220小时。新工艺真的比旧工艺更好吗？
步骤1：设定假设
- H₀（原假设）：新工艺没区别，均值μ=1200
- H₁（备择假设）：新工艺更好，μ>1200
步骤2：计算Z统计量
步骤3：计算P值
Z=2 对应的P值 = P(Z ≥ 2) ≈ 0.0228（查标准正态表）
P值的解释
- 如果H₀成立（新工艺没区别），出现1220小时或更高的概率只有2.28%
- 这个概率很低（<5%），所以我们拒绝H₀，认为新工艺可能真的更好
3. 用t检验（未知总体标准差）举例
场景：某减肥药声称平均减重5kg。10人服用后，平均减重6kg，样本标准差s=2kg。真的有效吗？
步骤1：设定假设
- H₀（原假设）：减肥药无效，均值μ=5
- H₁（备择假设）：减肥药有效，μ>5
步骤2：计算t统计量
步骤3：计算P值
自由度df=9，查t分布表，P(t ≥1.58) ≈ 0.074
P值的解释
- 如果H₀成立（减肥药无效），出现6kg或更高减重的概率是7.4%
- 这个概率不算很低（>5%），所以我们无法拒绝H₀，不能确定减肥药真的有效
4.用χ²检验举例
场景：广告点击率分析。某电商平台测试了两种广告（A和B），观察用户的点击行为，数据如下：
| 广告类型 | 点击 | 未点击 | 总计 |
|---|---|---|---|
| 广告A | 120 | 80 | 200 |
| 广告B | 90 | 110 | 200 |
| 总计 | 210 | 190 | 400 |
问题：广告A和广告B的点击率是否有显著差异？
步骤1：设定假设
- H₀（原假设）：广告A和广告B的点击率无差异（即广告类型不影响点击率）
- H₁（备择假设）：广告A和广告B的点击率有差异
步骤2：计算期望频数
如果H₀成立（广告类型不影响点击率），那么广告A和广告B的点击率应该和总体一致：
- 总体点击率 = 210/400 = 52.5%
- 总体未点击率 = 190/400 = 47.5%
因此，广告A和广告B的期望点击和未点击数为：
| 广告类型 | 点击（期望） | 未点击（期望） |
|---|---|---|
| 广告A | 200×52.5% = 105 | 200×47.5% = 95 |
| 广告B | 200×52.5% = 105 | 200×47.5% = 95 |
步骤3：计算卡方统计量（χ²）
卡方检验衡量观察值（O）和期望值（E）的偏离程度：
计算每一项的贡献：
| 广告类型 | 点击 (O-E)²/E | 未点击 (O-E)²/E |
|---|---|---|
| 广告A | (120-105)²/105 ≈ 2.14 | (80-95)²/95 ≈ 2.37 |
| 广告B | (90-105)²/105 ≈ 2.14 | (110-95)²/95 ≈ 2.37 |
总卡方值 = 2.14 + 2.37 + 2.14 + 2.37 ≈ 9.02
步骤4：计算P值
- 自由度（df） = (行数-1) × (列数-1) = (2-1)×(2-1) = 1
- 查卡方分布表，χ²=9.02, df=1 对应的P值 ≈ 0.0027
P值的解释
- P=0.0027 意味着：如果H₀成立（广告A和B无差异），出现这种极端数据的概率只有0.27%
- 这个概率极低（<0.05），所以我们拒绝H₀，认为广告A和B的点击率确实有显著差异
5. 对比三种检验的P值逻辑
三种检验的核心逻辑一致：
- 建立H₀（假设“无效应”或“无关联”）
- 计算统计量（Z/t/χ²）→ 反映实际数据与H₀的偏离程度
- 计算P值 → 在H₀成立下，偏离程度≥当前观测值的概率
- 决策：
- 小概率事件（P小） → 偏离程度大 → 拒绝H₀
- 常见事件（P大） → 偏离程度小 → 无法拒绝H₀
| 检验方法 | 适用场景 | 检验目的 | 统计量计算公式 | P值计算 | P值解释 |
|---|---|---|---|---|---|
| Z检验 | 已知总体标准差(σ) + 大样本(n>30) | 检验均值差异 |  | P(Z ≥ |z|) （双尾） | 若H₀成立，出现当前 |z| 或更大值的概率 |
| t检验 | 未知σ + 小样本(n≤30) | 检验均值差异 |  | P(t ≥ |t|) （双尾） | 若H₀成立，出现当前 |t| 或更大值的概率 |
| 卡方检验 | 分类变量（如性别与偏好） | 检验变量间的关联性 |  | P(χ² ≥ χ²值) | 若H₀成立，出现当前 χ² 或更大值的概率 |
注：单尾检验时 P 值直接取 P(Z≥z) 或 P(t≥t)（以实际假设方向为准）。
关键点：
- P值不是“H₀为真的概率”，而是“如果H₀为真，数据有多极端”
- P值越小，说明数据越不符合H₀，越有理由拒绝H₀（但也要结合样本量、效应大小）
- P>0.05 ≠ 证明H₀正确，只是“证据不足”
6. 现实比喻
- Z检验：你知道全班考试平均分（μ）和标准差（σ），判断某个班的成绩是否异常。
- t检验：你只知道样本数据，用样本标准差（s）去估计总体情况。
- χ²检验：调查“性别是否影响购物偏好”：如果P值很小（如0.01），说明性别和购物偏好很可能有关，如果P值较大（如0.3），说明观察到的差异可能是随机波动。
P值的作用 就是告诉你：“如果这个班真的和普通班一样，考出这个成绩的概率有多大？”
- 如果概率很低（P<0.05），说明这个班可能真的不一样
- 如果概率不低（P>0.05），说明这个成绩可能是随机波动
P值是用数据扇向原假设（H₀）的一记耳光——耳光越响亮（P越小），你越有理由相信H₀该被推翻。
p值是通过假设检验统计量（t/z/χ²等）转换而来的概率，核心是量化「偶然性」的合理性。实际应用中需同时报告效应量（如均值差异）和置信区间，避免单一指标误导决策。