函数在球内恒为零的证明

设函数 $$u(x)$$ 在闭球 B ( 0 , 1 ) = { x ∈ R n : ∣ x ∣ ≤ 1 } B(0,1) = \{x \in \mathbb{R}^n : |x| \leq 1\} B(0,1)={x∈Rn:∣x∣≤1} 内满足方程 $$\Delta u=\lambda u$$，其中 $$\lambda <0$$ 为常数，且在半径为 $$\delta$$ 的开球 B ( 0 , δ ) = { x ∈ R n : ∣ x ∣ < δ } B(0,\delta) = \{x \in \mathbb{R}^n : |x| < \delta\} B(0,δ)={x∈Rn:∣x∣<δ} 内 $$u(x)\equiv 0$$，其中 $$0<\delta <1$$。需证明在 $$B(0,1)$$ 内 $$u\equiv 0$$。

证明：

假设 $$u$$ 在 $$B(0,1)$$ 内具有足够的光滑性（例如 $$C^2$$ 类），以保证拉普拉斯算子 $$\Delta u$$ 定义良好，且方程成立。

步骤 1：利用唯一延拓性质

由于 $$u$$ 在开球 $$B(0,\delta )$$ 内恒为零，且 $$u$$ 光滑，则 $$u$$ 及其所有导数在闭球 $$\overline{B(0,\delta )}$$ 上均为零。特别地，在球面 $$|x|=\delta$$ 上，有：

• $$u=0$$,
• $$\nabla u=0$$（包括法向导数 $$\frac{\partial u}{\partial n}=0$$)。

考虑零函数 $$v\equiv 0$$，它也满足相同的方程 $$\Delta v=\lambda v$$（因为 $$\Delta 0=\lambda \cdot 0=0$$)。方程 $$\Delta u-\lambda u=0$$ 是二阶线性椭圆型方程（主部为拉普拉斯算子 $$\Delta$$，强椭圆），且系数为常数（光滑）。

唯一延拓性质指出：若两个解在某个开集上相等，则它们在连通区域上处处相等。这里，$$u$$ 和 $$v$$ 在开集 $$B(0,\delta )$$ 内相等（均为零）。由于 $$B(0,1)$$ 是连通区域，且包含 $$B(0,\delta )$$，因此 $$u$$ 和 $$v$$ 在 $$B(0,1)$$ 内相等，即 $$u\equiv 0$$ 在 $$B(0,1)$$ 内。

由连续性，在闭球 $$\overline{B(0,1)}$$ 上也有 $$u\equiv 0$$。

步骤 2：备选证明（球谐函数展开）

为提供显式论证，使用球坐标系 $$(r,\theta )$$，其中 $$r=|x|$$，$$\theta$$ 表示角度变量。函数 $$u$$ 可展开为球谐函数级数：
$$u(r,\theta )=\sum _{l=0}^{\infty }{R}_l(r)Y_l(\theta ),$$
其中 $$Y_l(\theta )$$ 是球谐函数，$$R_l(r)$$ 是径向函数。

代入方程 $$\Delta u=\lambda u$$，并设 $$k^2=-\lambda >0$$（因 $$\lambda <0$$)，得：
$$\Delta u+k^{2}u=0.$$
分离变量后，每个径向函数 $$R_l(r)$$ 满足方程：
$$\frac{d^2{R}_l}{d{r}^2}+\frac{n-1}{r}\frac{d{R}_l}{dr}+\left(k^2-\frac{l(l+n-2)}{r^2}\right)R_l=0,0<r<1.$$

在 $$r\le \delta$$ 时，$$u\equiv 0$$，故对每个 $$l$$，有 $$R_l(r)\equiv 0$$ 于 $$(0,\delta ]$$。特别地，在 $$r=\delta$$ 处：

• $$R_l(\delta )=0$$。
  由光滑性，在 $$r<\delta$$ 时 $$\frac{\partial u}{\partial r}=0$$，故在 $$r=\delta$$ 处对任意 $$\theta$$ 有 $$\frac{\partial u}{\partial r}=0$$。展开式中，
  $$\frac{\partial u}{\partial r}=\sum _{l=0}^{\infty }{R}_l^{\prime }(r)Y_l(\theta ),$$
  因此对每个 $$l$$，有 $$R_l^{\prime }(\delta )=0$$.

对每个固定的 $$l$$，$$R_l(r)$$ 满足上述二阶线性常微分方程，系数在 $$r\ge \delta >0$$ 时光滑。在点 $$r=\delta$$ 处，初值条件为：
$$R_l(\delta )=0,R_l^{\prime }(\delta )=0.$$
该初值问题有唯一解（由常微分方程存在唯一性定理）。零函数 $$R_l\equiv 0$$ 满足方程和初值条件，故对 $$r\ge \delta$$，有 $$R_l(r)\equiv 0$$。结合在 $$r\le \delta$$ 时 $$R_l(r)\equiv 0$$，得 $$R_l(r)\equiv 0$$ 于 $$(0,1)$$ 对所有 $$l$$.

因此，$$u(r,\theta )\equiv 0$$ 在 $$B(0,1)$$ 内。由连续性，在 $$\overline{B(0,1)}$$ 上 $$u\equiv 0$$.

结论

综上，在给定条件下，函数 $$u$$ 在 $$B(0,1)$$ 内恒为零。