爪形行列式
好的！我用一个具体的数值4阶“爪形”矩阵举例，配合一步一步推导，完整展示“列变换消元求行列式”的过程。
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# 例题
计算行列式
\[
D = \begin{vmatrix}
4 & 2 & 3 & 1 \\
6 & 5 & 0 & 0 \\
7 & 0 & 4 & 0 \\
8 & 0 & 0 & 3
\end{vmatrix}.
\]
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# Step 1：确认结构
- 第一行：\(a_0=4, b_1=2, b_2=3, b_3=1\)；
- 从第二行开始主对角为 \(a_1=5, a_2=4, a_3=3\)；
- 第一列第2~4行为 \(c_1=6, c_2=7, c_3=8\)；
- 满足爪形矩阵结构。
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# Step 2：列变换目标
消去第2~4行第一列元素，让第一列除第一行外全为0。操作为：
\[
C_1 \to C_1 - \frac{c_1}{a_1} C_2 - \frac{c_2}{a_2} C_3 - \frac{c_3}{a_3} C_4
\]
代入数值：
\[
C_1 := C_1 - \frac{6}{5} C_2 - \frac{7}{4} C_3 - \frac{8}{3} C_4
\]
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# Step 3：计算变换后第一列的第一行元素
原第一列第一行元素是 4。
计算
\[
4 - \frac{6}{5} \times 2 - \frac{7}{4} \times 3 - \frac{8}{3} \times 1
\]
分别计算：
- \( \frac{6}{5} \times 2 = \frac{12}{5} = 2.4 \)
- \( \frac{7}{4} \times 3 = \frac{21}{4} = 5.25 \)
- \( \frac{8}{3} \times 1 = \frac{8}{3} \approx 2.6667 \)
叠加减：
\[
4 - 2.4 - 5.25 - 2.6667 = 4 - 10.3167 = -6.3167
\]
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# Step 4：计算变换后第一列第2到第4行元素
按照结构
\[
c_i - \frac{c_i}{a_i} \times a_i = c_i - c_i = 0,
\]
第2行第1列元素：
\[
6 - \frac{6}{5} \times 5 = 6 - 6 = 0
\]
第3行第1列元素：
\[
7 - \frac{7}{4} \times 4 = 7 - 7 = 0
\]
第4行第1列元素：
\[
8 - \frac{8}{3} \times 3 = 8 - 8 =0
\]
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# Step 5：写出变换后矩阵
\[
D' = \begin{vmatrix}
-6.3167 & 2 & 3 & 1 \\
0 & 5 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 3
\end{vmatrix}
\]
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# Step 6：行列式计算
由于第2到第4行第1列已经为0，矩阵为上三角矩阵，
故有
\[
D = \det(D') = (-6.3167) \times 5 \times 4 \times 3
\]
计算：
\[
5 \times 4 \times 3 = 60, \quad -6.3167 \times 60 = -379.0
\]
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# Step 7：总结
\[
\boxed{
D = \left(4 - \frac{6}{5} \times 2 - \frac{7}{4} \times 3 - \frac{8}{3} \times 1\right) \times 5 \times 4 \times 3 = -379.0
}
\]
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# 额外说明 — 变换理由
- “列减法+倍数” 不改变行列式值；
- 通过该变换消去第一列除第一行外元素，形成上三角矩阵方便计算；
- 行列式即为主对角线元素乘积。
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好的，让我们一步步拆解这道“爪形行列式”的计算步骤，详细说明其中的变换过程和行列式计算原理。
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# 问题背景与目标
给定 \( (n+1) \) 阶爪形行列式：
\[
D = \begin{vmatrix}
a_0 & b_1 & b_2 & \cdots & b_n \\
c_1 & a_1 & 0 & \cdots & 0 \\
c_2 & 0 & a_2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
c_n & 0 & 0 & \cdots & a_n \\
\end{vmatrix}
\]
其中 \( a_1 a_2 \cdots a_n \neq 0 \)，要求计算其行列式值。
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# 分步拆解
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## 第1步：观察矩阵结构
- 第一行有元素 \( a_0, b_1, b_2, \dots, b_n \)
- 第一列有元素 \( a_0, c_1, c_2, \dots, c_n \)
- 从第二行、第二列开始为对角矩阵 \( \mathrm{diag}(a_1, a_2, \dots, a_n) \) 加上一些零元素
- 典型的“爪形矩阵”（英文shaped like a claw）
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## 第2步：目标
期望通过初等列变换（或初等行变换）将矩阵转换成上三角矩阵/下三角矩阵，方便计算行列式。
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## 第3步：进行初等列变换
核心操作：
**用第1列减去第2列的 \(\frac{c_1}{a_1}\) 倍，第3列的 \(\frac{c_2}{a_2}\) 倍，...，第\( (n+1) \)列的 \(\frac{c_n}{a_n}\) 倍**
用代数表达：
对第1列进行如下变换：
\[
C_1 \to C_1 - \sum_{i=1}^n \frac{c_i}{a_i} C_{i+1}
\]
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## 第4步：变换后的矩阵形式
变换后，矩阵变成：
\[
\begin{vmatrix}
a_0 - \sum_{i=1}^n \frac{c_i}{a_i} b_i & b_1 & b_2 & \cdots & b_n \\
0 & a_1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & a_2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & a_n \\
\end{vmatrix}
\]
具体解释：
- 第一列经过列变换后（用列加法），第2~\( n+1 \)行第1列元素被消成0了，这是因为
\[
c_i - \frac{c_i}{a_i} \times a_i = 0
\]
- 剩余结构是第1行第1列变成了 \( a_0 - \sum \frac{c_i}{a_i} b_i \)，第二行、第三行...第\( n+1 \)行对应第2~\( n+1 \)列对角元保持不变。
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## 第5步：行列式计算利用
行列式的性质：
- 用列加倍（某列加另一列乘上系数）不改变行列式的值。
- 矩阵变换完成，上述变换不改变行列式值。
- 变换后，矩阵成上三角矩阵。
因此，行列式为主对角线元素乘积：
\[
D = \left( a_0 - \sum_{i=1}^n \frac{c_i}{a_i} b_i \right) \times a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_n.
\]
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# 总结公式：
\[
\boxed{
D = \left( a_0 - \sum_{i=1}^n \frac{c_i b_i}{a_i} \right) \prod_{i=1}^n a_i.
}
\]
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# 具体示例（\( n=2 \)）
当
\[
D = \begin{vmatrix}
a_0 & b_1 & b_2 \\
c_1 & a_1 & 0 \\
c_2 & 0 & a_2
\end{vmatrix}
\]
则变换列操作后：
\[
C_1 \to C_1 - \frac{c_1}{a_1} C_2 - \frac{c_2}{a_2} C_3,
\]
得到上三角矩阵
\[
\begin{vmatrix}
a_0 - \frac{c_1}{a_1} b_1 - \frac{c_2}{a_2} b_2 & b_1 & b_2 \\
0 & a_1 & 0 \\
0 & 0 & a_2
\end{vmatrix}
\]
行列式为
\[
D = \left( a_0 - \frac{c_1 b_1}{a_1} - \frac{c_2 b_2}{a_2} \right) a_1 a_2.
\]