一阶线性双曲型偏微分方程组的特征值与通解分析

问题3

求系统 $$U_u+A{U}_x=0$$ 的特征并写出通解，其中矩阵 $$A$$ 如下：

$$A_1=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right),A_2=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& -1\end{array}\right),$$

$$A_3=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 0& -2& 1\\ 0& 0& -1\end{array}\right),A_4=\left(\begin{array}{ccc}-3& 2& 1\\ 0& -2& 1\\ 0& 0& -1\end{array}\right),$$

$$A_5=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 0& 3\\ 2& 3& 0\end{array}\right).$$

解答

系统为 $$\frac{\partial \mathbf{U}}{\partial u}+A\frac{\partial \mathbf{U}}{\partial x}=0$$，其中 $$\mathbf{U}=(u_1,u_2,u_3{)}^T$$ 是向量函数，$$u$$ 和 $$x$$ 是自变量。

• 特征：指矩阵 $$A$$ 的特征值 $$\lambda$$，它们决定了特征曲线的方向。特征曲线由方程 $$x-\lambda u=\text{常数}$$ 给出。
• 通解：通过求解特征值问题和对角化（或类似方法）得到。通解形式为 $$\mathbf{U}(u,x)=\sum _k{f}_k(x-{\lambda }_{k}u){\mathbf{v}}_k$$，其中 $${\lambda }_k$$ 是特征值，$${\mathbf{v}}_k$$ 是相应的特征向量，$$f_k$$ 是任意可微函数。

下面针对每个矩阵 $$A$$ 求解特征值并写出通解。

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1. 对于 $$A_1=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

• 特征值：$${\lambda }_1=3$$, $${\lambda }_2=2$$, $${\lambda }_3=1$$（全部实数且互异）。
• 特征向量：
  • $${\lambda }_1=3$$: $${\mathbf{v}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$$
  • $${\lambda }_2=2$$: $${\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\end{array}\right)$$
  • $${\lambda }_3=1$$: $${\mathbf{v}}_3=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)$$
• 通解：
  $$\mathbf{U}(u,x)=f_1(x-3u)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+f_2(x-2u)\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\end{array}\right)+f_3(x-u)\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)$$
  即分量形式：
  $$\{\begin{array}{l}{u}_1(u,x)=f_1(x-3u)-2f_2(x-2u)+f_3(x-u)\\ u_2(u,x)=f_2(x-2u)-2f_3(x-u)\\ u_3(u,x)=2f_3(x-u)\end{array}$$
  其中 $$f_1,f_2,f_3$$ 是任意可微函数。

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2. 对于 $$A_2=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$$

• 特征值：$${\lambda }_1=3$$, $${\lambda }_2=2$$, $${\lambda }_3=-1$$（全部实数且互异）。
• 特征向量：
  • $${\lambda }_1=3$$: $${\mathbf{v}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$$
  • $${\lambda }_2=2$$: $${\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\end{array}\right)$$
  • $${\lambda }_3=-1$$: $${\mathbf{v}}_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -12\end{array}\right)$$
• 通解：
  $$\mathbf{U}(u,x)=f_1(x-3u)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+f_2(x-2u)\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\end{array}\right)+f_3(x+u)\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -12\end{array}\right)$$
  即分量形式：
  $$\{\begin{array}{l}{u}_1(u,x)=f_1(x-3u)-2f_2(x-2u)+f_3(x+u)\\ u_2(u,x)=f_2(x-2u)+4f_3(x+u)\\ u_3(u,x)=-12f_3(x+u)\end{array}$$
  其中 $$f_1,f_2,f_3$$ 是任意可微函数。

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3. 对于 $$A_3=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 0& -2& 1\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$$

• 特征值：$${\lambda }_1=3$$, $${\lambda }_2=-2$$, $${\lambda }_3=-1$$（全部实数且互异）。
• 特征向量：
  • $${\lambda }_1=3$$: $${\mathbf{v}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$$
  • $${\lambda }_2=-2$$: $${\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ 0\end{array}\right)$$
  • $${\lambda }_3=-1$$: $${\mathbf{v}}_3=\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 4\end{array}\right)$$
• 通解：
  $$\mathbf{U}(u,x)=f_1(x-3u)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+f_2(x+2u)\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ 0\end{array}\right)+f_3(x+u)\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 4\end{array}\right)$$
  即分量形式：
  $$\{\begin{array}{l}{u}_1(u,x)=f_1(x-3u)-2f_2(x+2u)-3f_3(x+u)\\ u_2(u,x)=5f_2(x+2u)+4f_3(x+u)\\ u_3(u,x)=4f_3(x+u)\end{array}$$
  其中 $$f_1,f_2,f_3$$ 是任意可微函数。

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4. 对于 $$A_4=\left(\begin{array}{ccc}-3& 2& 1\\ 0& -2& 1\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$$

• 特征值：$${\lambda }_1=-3$$, $${\lambda }_2=-2$$, $${\lambda }_3=-1$$（全部实数且互异）。
• 特征向量：
  • $${\lambda }_1=-3$$: $${\mathbf{v}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$$
  • $${\lambda }_2=-2$$: $${\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right)$$
  • $${\lambda }_3=-1$$: $${\mathbf{v}}_3=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 2\end{array}\right)$$
• 通解：
  $$\mathbf{U}(u,x)=f_1(x+3u)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+f_2(x+2u)\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right)+f_3(x+u)\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 2\end{array}\right)$$
  即分量形式：
  $$\{\begin{array}{l}{u}_1(u,x)=f_1(x+3u)+2f_2(x+2u)+3f_3(x+u)\\ u_2(u,x)=f_2(x+2u)+2f_3(x+u)\\ u_3(u,x)=2f_3(x+u)\end{array}$$
  其中 $$f_1,f_2,f_3$$ 是任意可微函数。

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5. 对于 $$A_5=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 0& 3\\ 2& 3& 0\end{array}\right)$$

• 特征值：$${\lambda }_1=-3$$, $${\lambda }_2=2+\sqrt{11}$$, $${\lambda }_3=2-\sqrt{11}$$（全部实数且互异）。
• 特征向量：
  • $${\lambda }_1=-3$$: $${\mathbf{v}}_1=\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ 8\end{array}\right)$$
  • $${\lambda }_2=2+\sqrt{11}$$: $${\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}4+\sqrt{11}\\ 3+\sqrt{11}\\ 3+\sqrt{11}\end{array}\right)$$
  • $${\lambda }_3=2-\sqrt{11}$$: $${\mathbf{v}}_3=\left(\begin{array}{c}4-\sqrt{11}\\ 3-\sqrt{11}\\ 3-\sqrt{11}\end{array}\right)$$
• 通解：
  $$\mathbf{U}(u,x)=f_1(x+3u)\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ 8\end{array}\right)+f_2(x-(2+\sqrt{11})u)\left(\begin{array}{c}4+\sqrt{11}\\ 3+\sqrt{11}\\ 3+\sqrt{11}\end{array}\right)+f_3(x-(2-\sqrt{11})u)\left(\begin{array}{c}4-\sqrt{11}\\ 3-\sqrt{11}\\ 3-\sqrt{11}\end{array}\right)$$
  即分量形式：
  $$\{\begin{array}{l}{u}_1(u,x)=-3f_1(x+3u)+(4+\sqrt{11})f_2(x-(2+\sqrt{11})u)+(4-\sqrt{11})f_3(x-(2-\sqrt{11})u)\\ u_2(u,x)=-6f_1(x+3u)+(3+\sqrt{11})f_2(x-(2+\sqrt{11})u)+(3-\sqrt{11})f_3(x-(2-\sqrt{11})u)\\ u_3(u,x)=8f_1(x+3u)+(3+\sqrt{11})f_2(x-(2+\sqrt{11})u)+(3-\sqrt{11})f_3(x-(2-\sqrt{11})u)\end{array}$$
  其中 $$f_1,f_2,f_3$$ 是任意可微函数，$$\sqrt{11}\approx 3.3166$$。

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总结

• 所有矩阵的特征值均为实数且互异，因此系统是严格双曲的，通解如上所示。
• “特征”在本题中主要指特征值 $${\lambda }_k$$，它们决定了特征曲线的斜率（$$dx/du={\lambda }_k$$)。
• 通解中的任意函数 $$f_k$$ 由初始条件或边界条件确定。

问题4

对于问题3中的每个系统，在区域 { x > 0 , t > 0 } \{x > 0, t > 0\} {x>0,t>0}内，确定以下初边值问题（IVBP）中哪个是适定的，并求出解$$U=\left(\begin{array}{c}u\\ v\\ w\end{array}\right)$$：
我们有初始条件$$u{|}_{t=0}=f(x),v{|}_{t=0}=g(x),w{|}_{t=0}=h(x)$$，以及以下几组边界条件：

情况1

$$\{\begin{array}{l}u{|}_{t=0}=f(x),v{|}_{t=0}=g(x),w{|}_{t=0}=h(x)\\ u{|}_{x=0}=\varphi (t)\end{array}$$

由于该系统是一个线性一阶双曲型系统（来自问题3），为了保证适定性，我们需要考虑特征方向。

一般来说，对于一个特定的来自问题3的系统，其特征值是$${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$$。如果$${\lambda }_1<0$$，那么对应于$${\lambda }_1$$的特征线在$$x=0$$处是流入的。

我们使用特征线法来求解该系统。特征线方程为$$\frac{dt}{1}=\frac{dx}{{\lambda }_k}=\frac{du}{f_k^{\prime }}=\frac{dv}{g_k^{\prime }}=\frac{dw}{h_k^{\prime }}$$，其中$$f_k^{\prime },g_k^{\prime },h_k^{\prime }$$是对应于$${\lambda }_k$$的特征向量的分量。

沿着特征线$$x={\lambda }_{k}t+c_k$$，我们有$$u(x,t)=f(x-{\lambda }_{k}t)$$，$$v(x,t)=g(x-{\lambda }_{k}t)$$以及$$w(x,t)=h(x-{\lambda }_{k}t)$$。

为了满足边界条件$$u{|}_{x=0}=\varphi (t)$$，我们将$$x=0$$代入解的表达式中。例如，如果$${\lambda }_1<0$$，那么$$u(0,t)=\varphi (t)$$，并且我们可以根据$$\varphi (t)$$以及非特征边界上的初始条件来确定解。

适定性在以下情况下得到保证：当我们能够从给定的初始条件和边界条件唯一确定所有未知函数$$u,v,w$$时。一般来说，对于一个严格双曲型系统（所有特征值都是实数且互不相同），如果我们在流入边界处指定了$$n$$个边界条件（$$n=3$$在我们的情况下），则该问题是适定的。

解$$U=(u,v,w)$$是通过对特征线方程进行求解以找到特征线，然后使用初始条件和边界条件来确定线性组合中特征向量解的系数来得到的。

情况2

$$\{\begin{array}{l}u{|}_{t=0}=f(x),v{|}_{t=0}=g(x),w{|}_{t=0}=h(x)\\ u{|}_{x=0}=\varphi (t),v{|}_{t=0}=\psi (t)\end{array}$$

我们仍然考虑系统的特征结构。边界条件的数量应该与$$x=0$$处的流入特征线的数量相匹配。

如果$${\lambda }_1<0$$且$${\lambda }_2<0$$（在$$x=0$$处有两个流入特征线），我们需要在$$x=0$$处有两个边界条件。第一个边界条件$$u{|}_{x=0}=\varphi (t)$$有助于确定与对应于$${\lambda }_1$$的特征线相关的解的部分，第二个边界条件$$v{|}_{t=0}=\psi (t)$$（它应该以一种合理的方式与$$t=0$$时$$x=0$$处的初始条件$$v{|}_{t=0}=g(x)$$一致）有助于确定与对应于$${\lambda }_2$$的特征线相关的解的部分。

我们使用特征线法将来自边界$$x=0$$和初始线$$t=0$$的信息进行传播。解$$U=(u,v,w)$$是通过组合从初始线$$t=0$$和边界$$x=0$$出发的特征线所贡献的部分来构建的。

情况3

$$\{\begin{array}{l}u{|}_{t=0}=f(x),v{|}_{t=0}=g(x),w{|}_{t=0}=h(x)\\ u{|}_{x=0}=\varphi (t),v{|}_{x=0}=\psi (t),w{|}_{t=0}=\chi (t)\end{array}$$

对于一个严格双曲型系统，如果所有三个特征值都是实数且互不相同，那么在$$x=0$$处指定三个边界条件通常是超定的，除非边界条件经过精心选择，以与特征结构和初始条件保持一致。

如果所有三个特征值$${\lambda }_1<0,{\lambda }_2<0,{\lambda }_3<0$$（在$$x=0$$处所有特征线都是流入的），理论上我们可以通过这三个边界条件以及初始条件来求解该系统。我们首先找到从边界$$x=0$$上的点$$(0,\tau )$$和初始线$$t=0$$上的点$$(x,0)$$出发的特征线。

我们使用在特征线与边界的交点处的相容性条件来确定未知函数。解$$U=(u,v,w)$$是通过对连接初始数据和边界数据的特征线所对应的常微分方程组进行求解来得到的。

总之，为了确定适定性，我们需要分析系统$$U_t+A{U}_x=0$$中矩阵$$A$$的特征值的符号，以识别$$x=0$$处的流入特征线。边界条件的数量应该与流入特征线的数量相匹配。为了找到解，我们使用特征线法沿着特征线传播初始数据和边界数据。