热传导方程能量分析与边界条件研究

题目

问题 10.
(a) 考虑热传导方程在 $$J=(-\infty ,\infty )$$ 上，证明“能量”
$$E(t)={\int }_J{u}^2(x,t)dx$$
(8)
不增加；进一步证明，除非 $$u(x,t)=\text{常数}$$，否则它确实减少。

(b) 考虑热传导方程在 $$J=(0,l)$$ 上，带有 Dirichlet 或 Neumann 边界条件，证明 $$E(t)$$ 不增加；进一步证明，除非 $$u(x,t)=\text{常数}$$，否则它确实减少。

© 考虑热传导方程在 $$J=(0,l)$$ 上，带有 Robin 边界条件：
$$u_x(0,t)-a_{0}u(0,t)=0,$$
$$u_x(L,t)+a_{L}u(L,t)=0.$$
(9)
如果 $$a_0>0$$ 和 $$a_L>0$$（注：原文中 $$a_l$$ 应为 $$a_L$$，已修正），证明端点对 $$E(t)={\int }_0^L{u}^2(x,t)dx$$ 的减少有贡献。这被解释为部分能量在边界处损失，因此我们称边界条件为辐射或耗散的。

提示. 为了证明 $$E(t)$$ 的减少，考虑其对 $$t$$ 的导数，用 $$k{u}_{xx}$$ 替换 $$u_t$$，并进行分部积分。

备注 3.P.1. 在热传导（或扩散）方程的情况下，由 (8) 给出的能量更多是数学上的构造。

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解决题目

热传导方程的标准形式为：
$$u_t=k{u}_{xx},$$
其中 $$k>0$$ 是热扩散系数（常数）。能量泛函定义为：
$$E(t)={\int }_J{u}^2(x,t)dx,$$
其中 $$J$$ 是定义域。证明的核心是计算 $$\frac{dE}{dt}$$ 并利用热传导方程和边界条件。

(a) 无限域 $$J=(-\infty ,\infty )$$

证明：
计算 $$E(t)$$ 的时间导数：
$$\frac{dE}{dt}=\frac{d}{dt}{\int }_{-\infty }^{\infty }{u}^2(x,t)dx.$$
假设 $$u$$ 足够光滑，且当 $$|x|\to \infty$$ 时，$$u$$ 及其一阶导数趋于零（物理上合理的衰减条件），因此可以交换积分与导数顺序：
$$\frac{dE}{dt}={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\partial }{\partial t}(u^2)dx={\int }_{-\infty }^{\infty }2u{u}_{t}dx.$$
由热传导方程 $$u_t=k{u}_{xx}$$，代入得：
$$\frac{dE}{dt}=2k{\int }_{-\infty }^{\infty }u{u}_{xx}dx.$$
对积分进行分部积分：令 $$f=u$$, $$g^{\prime }=u_{xx}$$，则 $$f^{\prime }=u_x$$, $$g=u_x$$，
$${\int }_{-\infty }^{\infty }u{u}_{xx}dx={\left[u{u}_x\right]}_{-\infty }^{\infty }-{\int }_{-\infty }^{\infty }{u}_x\cdot u_{x}dx.$$
由衰减条件，边界项 $${\left[u{u}_x\right]}_{-\infty }^{\infty }=0$$，因此：
$${\int }_{-\infty }^{\infty }u{u}_{xx}dx=-{\int }_{-\infty }^{\infty }(u_x{)}^{2}dx.$$
代入得：
$$\frac{dE}{dt}=2k\left(-{\int }_{-\infty }^{\infty }(u_x{)}^{2}dx\right)=-2k{\int }_{-\infty }^{\infty }(u_x{)}^{2}dx.$$
由于 $$k>0$$ 且 $$(u_x{)}^2\ge 0$$，有 $${\int }_{-\infty }^{\infty }(u_x{)}^{2}dx\ge 0$$，因此：
$$\frac{dE}{dt}\le 0,$$
等号成立当且仅当 $$u_x=0$$ 几乎处处（即在所有 $$x$$ 和 $$t$$ 上），这意味着 $$u(x,t)=c$$（常数）。

• 不增加性： $$\frac{dE}{dt}\le 0$$ 表明 $$E(t)$$ 不增加。
• 严格减少性： 除非 $$u$$ 是常数，否则 $${\int }_{-\infty }^{\infty }(u_x{)}^{2}dx>0$$，导致 $$\frac{dE}{dt}<0$$，即 $$E(t)$$ 严格减少。

在无限域上，常数解 $$u=c$$ 是允许的（但需满足初始条件），此时 $$E(t)$$ 为常数。否则，$$E(t)$$ 严格减少。

(b) 有限域 $$J=(0,l)$$ 上 Dirichlet 或 Neumann 边界条件

证明：
定义域为 $$[0,L]$$（其中 $$L=l$$)，能量为：
$$E(t)={\int }_0^L{u}^2(x,t)dx.$$
计算导数：
$$\frac{dE}{dt}={\int }_0^{L}2u{u}_{t}dx=2k{\int }_0^{L}u{u}_{xx}dx.$$
分部积分：
$${\int }_0^{L}u{u}_{xx}dx={\left[u{u}_x\right]}_0^L-{\int }_0^L(u_x{)}^{2}dx.$$
边界项 $${\left[u{u}_x\right]}_0^L=u(L,t)u_x(L,t)-u(0,t)u_x(0,t)$$ 依赖于边界条件。

• Dirichlet 边界条件： $$u(0,t)=0$$, $$u(L,t)=0$$。
  边界项：
  $$u(L,t)u_x(L,t)-u(0,t)u_x(0,t)=0\cdot u_x(L,t)-0\cdot u_x(0,t)=0.$$
  因此：
  $${\int }_0^{L}u{u}_{xx}dx=-{\int }_0^L(u_x{)}^{2}dx,$$
  $$\frac{dE}{dt}=2k\left(-{\int }_0^L(u_x{)}^{2}dx\right)=-2k{\int }_0^L(u_x{)}^{2}dx\le 0.$$
  等号成立当且仅当 $$u_x=0$$ 几乎处处，即 $$u$$ 是常数。但 Dirichlet 边界条件 $$u(0,t)=0$$, $$u(L,t)=0$$ 要求常数必须为零（即 $$u\equiv 0$$)。

• Neumann 边界条件： $$u_x(0,t)=0$$, $$u_x(L,t)=0$$。
  边界项：
  $$u(L,t)u_x(L,t)-u(0,t)u_x(0,t)=u(L,t)\cdot 0-u(0,t)\cdot 0=0.$$
  因此：
  $${\int }_0^{L}u{u}_{xx}dx=-{\int }_0^L(u_x{)}^{2}dx,$$
  $$\frac{dE}{dt}=-2k{\int }_0^L(u_x{)}^{2}dx\le 0.$$
  等号成立当且仅当 $$u_x=0$$，即 $$u$$ 是常数。Neumann 边界条件允许非零常数解（例如 $$u=c$$)，此时 $$E(t)$$ 为常数。

结论：

• 在两种边界条件下，$$\frac{dE}{dt}\le 0$$，故 $$E(t)$$ 不增加。
• 除非 $$u$$ 是常数（Dirichlet 时必为零，Neumann 时可非零），否则 $${\int }_0^L(u_x{)}^{2}dx>0$$，导致 $$\frac{dE}{dt}<0$$，即 $$E(t)$$ 严格减少。

© 有限域 $$J=(0,l)$$ 上 Robin 边界条件

边界条件：
$$u_x(0,t)-a_{0}u(0,t)=0,u_x(L,t)+a_{L}u(L,t)=0,$$
其中 $$a_0>0$$, $$a_L>0$$。

证明：
能量 $$E(t)={\int }_0^L{u}^2(x,t)dx$$。计算导数：
$$\frac{dE}{dt}=2k{\int }_0^{L}u{u}_{xx}dx.$$
分部积分：
$${\int }_0^{L}u{u}_{xx}dx={\left[u{u}_x\right]}_0^L-{\int }_0^L(u_x{)}^{2}dx.$$
边界项：
$${\left[u{u}_x\right]}_0^L=u(L,t)u_x(L,t)-u(0,t)u_x(0,t).$$
由 Robin 边界条件：

• 在 $$x=0$$: $$u_x(0,t)=a_{0}u(0,t)$$（由 $$u_x-a_{0}u=0$$)，
• 在 $$x=L$$: $$u_x(L,t)=-a_{L}u(L,t)$$（由 $$u_x+a_{L}u=0$$)。
  代入：
  $$u(L,t)u_x(L,t)=u(L,t)\cdot (-a_{L}u(L,t))=-a_L[u(L,t){]}^2,$$
  $$u(0,t)u_x(0,t)=u(0,t)\cdot (a_{0}u(0,t))=a_0[u(0,t){]}^2,$$
  因此：
  $${\left[u{u}_x\right]}_0^L=-a_L{u}^2(L,t)-a_0{u}^2(0,t).$$
  代入分部积分结果：
  $${\int }_0^{L}u{u}_{xx}dx=-a_L{u}^2(L,t)-a_0{u}^2(0,t)-{\int }_0^L(u_x{)}^{2}dx.$$
  于是：
  $$\frac{dE}{dt}=2k\left[-a_L{u}^2(L,t)-a_0{u}^2(0,t)-{\int }_0^L(u_x{)}^{2}dx\right].$$
  由于 $$k>0$$, $$a_0>0$$, $$a_L>0$$，且 $$u^2\ge 0$$, $$(u_x{)}^2\ge 0$$，有：
  $$-a_0{u}^2(0,t)\le 0,-a_L{u}^2(L,t)\le 0,-{\int }_0^L(u_x{)}^{2}dx\le 0,$$
  所以：
  $$\frac{dE}{dt}\le 0.$$
  等号成立当且仅当：
• $$u_x=0$$ 几乎处处（即 $$u$$ 是常数），
• $$u(0,t)=0$$ 且 $$u(L,t)=0$$。
  Robin 边界条件要求：若 $$u$$ 是常数 $$c$$，则：
• 在 $$x=0$$: $$0-a_{0}c=0$$ 得 $$c=0$$（因 $$a_0>0$$)，
• 在 $$x=L$$: $$0+a_{L}c=0$$ 得 $$c=0$$（因 $$a_L>0$$)。
  因此唯一解为 $$u\equiv 0$$。

端点贡献分析：
$$\frac{dE}{dt}$$ 的表达式为：
$$\frac{dE}{dt}=-2k{a}_0{u}^2(0,t)-2k{a}_L{u}^2(L,t)-2k{\int }_0^L(u_x{)}^{2}dx.$$

• 项 $$-2k{a}_0{u}^2(0,t)$$ 和 $$-2k{a}_L{u}^2(L,t)$$ 分别对应端点 $$x=0$$ 和 $$x=L$$ 的贡献。
• 当 $$u(0,t)\ne 0$$ 或 $$u(L,t)\ne 0$$ 时，这些项为负，表明能量在边界处损失。
• 结合内部项 $$-2k{\int }_0^L(u_x{)}^{2}dx\le 0$$，整体 $$\frac{dE}{dt}<0$$ 除非 $$u\equiv 0$$。

因此，端点对 $$E(t)$$ 的减少有贡献，边界条件确实是辐射或耗散的。

总结：

• 在所有情况下，$$E(t)$$ 不增加（即 $$\frac{dE}{dt}\le 0$$)。
• 除非解为常数（具体形式依赖于边界条件），否则 $$E(t)$$ 严格减少。
• Robin 边界条件下，端点项明确贡献能量损失。
• 如备注所述，此“能量”是数学构造，不代表物理能量，但用于分析解的稳定性。