矩阵的定义和运算 线性代数

同样先给大家介绍一下我们本章的结构：

 

矩阵的本质

 

矩阵的本质是表达信息，在计算机领域而言，因为计算机只能处理数字，所以很多时候现实生活中的很多东西都会被量化为数字，而对应的关系则被抽象为函数，这在我们前面一章行列式也说过。但是不同的是，矩阵是比行列式更本质的东西，因为行列式其实本质上是一个数，是对一个矩阵进行行列式运算得到的一个数，而矩阵本身就是一种表示。在我们的线性代数的运算中，矩阵和数是同等地位的。

矩阵的基

 

我们在第一讲中就说过，矩阵其实是一个向量空间，那么这个空间是什么样子的，是由什么组成的呢？

这里就说到我们这里的基了，什么是基。从词的意思来看，就是基本的，构成这个空间基础的东西，那什么能称之为基础。那便是这个空间中的其他的向量都能由这个（或几个）向量表示，而这几个向量之间无法互相表示。那么我们就称之为这是我们这个矩阵（向量空间）的一组基。

 

我们在这里就能形象的看到此矩阵的一组基，类似于我们的坐标轴的单位向量。而这个矩阵里的其他向量显然是由他俩组成的，而他俩又无法互相表示。

矩阵的定义和基本运算

矩阵的定义

 

矩阵的基本运算

 

注意这里只有同型矩阵能相加，很显然么，矩阵加法是对应位置的数相加，那俩矩阵型号都不一样连位置都对不上怎么相加。

 

注意和行列式的区别，这里是所有位置都乘k

 

加法和数乘的运算律没有什么特殊点，都是一样的。但是矩阵乘法的运算律就比较特殊了。

 

对应元素相乘相加，条件是前一个的列等于后一个的行。

这里介绍一下Gram矩阵：

 

就是其本身乘以自己的转置矩阵，转置就是把自己的行换成列换个位置，大家可能觉得很逆天，这不是给自己自找麻烦吗？但是我们这里要注意的是，运算所带来的除了结果之外的东西。因为矩阵不是数，他进行运算得到的是一个矩阵而非数，那矩阵有哪些特点呢？第一个就是他有行有列吧，那我们发现我们的Gram矩阵是不是在形态上一定是个方阵。这是个很重要的东西，因为很多时候方阵更便于我们的运算，我们有很多的性质是可以运用到方阵上的，但是无法用到其他的矩阵上，这个我们之后再说。

其次，矩阵乘法运算后的数实际上就是我们的向量运算的结果吧，我们在中学学过向量运算，是由两个的模长乘以其余弦，那我们的Gram是不是也能曲线的求出我们向量的模长？、

还有很多其他的东西都是由我们的矩阵运算可以得到的，所以大家在学习的时候一定要做到见山不是山，把东西想的更深一点，这样对大家的做题和学习都有很多好处。

 

终于到我们的乘法运算律了，这里一定要注意的重点就是乘法运算没有交换律！！！

这个大家一定要记住！！！

 

接下来是转置矩阵，主要注意点就是这里的运算规律4.

 

这个主要讲一下3，对于3来说，我们的行列式为0但是本身不一定是0矩阵。这个大家应该都是能理解的，因为行列式是矩阵运算的一种形式，就像不能说A+B=0就说A和B都是0吧。道理是一样的。

 

这条很重要，要格外记住。

几种重要矩阵

重要矩阵一定要记住，因为他们有其独特的性质，但是在本篇中先不做赘述。

 

 

 

三种例题类型：

一：秩1矩阵

 

我们对于所有的题目，都要走的过一定是翻译--->算题

因为一般出题老师不会把条件裸露给你，都是说“暗语”。所以你在读到题目的时候一定要知道题目背后的是什么知识点，才能猜出他考的是什么。

我们回顾一下我们学的，这个显然是矩阵的乘法，我们在矩阵乘法中学的只有两点，一个是乘法的计算，还有一个就是乘法的运算律。

这题是个求通式的题，一般这种题我们都有一种解法是把它一个个算出来然后找规律，大家可以先试试，但是都到了大学了，这种投机取巧的办法肯定是不合适的。但是有一定概率这种也能算出来。

我们在算了一遍之后肯定会发现结果非常的大然后很奇怪。对于我们的填空题来说我们现在的情况无疑是走错路了，所以我们回归正途，我之前说过这题应该是要考两个知识点，一个是运算，那我们试过了，应该是不行，还有一个就是运算律，大家想一下有哪几个运算律：结合律和分配律对吧，因为矩阵乘法没有交换律，而分配律又是要有+或者-在的，这题显然也不是分配律，那么我们就只能往结合律上想了。

又看到我们条件的两个矩阵都是列向量，一定可以想到他们可以相乘只剩一个数而不是一个矩阵（后面可以知道这里是秩1矩阵），再往结合律上想，结果就呼之欲出了。

所以对于很多秩1矩阵都可以这么干。但是大家千万不要死记题型，记住知识点，然后多做题多想，万变不离其宗。

对行列向量的分解和结合大家也要记住：

 

二.试算

 

三.拆项

 

依然是翻译，我们首先想这道题考什么知识点。

乍一看好像只有计算，那我们像上一题去试算一下，结果没有发现。

在这里我们再次想一想，这道题有什么。很明显有一个A，还有就是A的n次方了，运算律的话A的n次方没有+-，结合律也没办法用。也就是说右边的结果没办法再翻译了。

那我们再来看左边的条件，看到是给出了一个矩阵，求他的n次方，其实已经很明白了，猫腻就出在这个矩阵身上。再回顾一下今天学的知识，除了运算和运算律什么的是不是还有一个重要矩阵。正巧，我们可以看到我们给出的矩阵里就包含这个重要矩阵里的单位矩阵吧，再结合分配律是不是就有思路了，这正好就是我们分配律的逆用。

所以大家在“翻译”题目的时候，不光要想到知识点的正向，也要想到它的逆运用。才能融会贯通。

最后的最后，大家在做题的时候不光要学会翻译，有时也要学会做题的方法和思路，这道题是怎么解的，比如说我们的最后一题，使用了拆项的方法。那下一次遇到题目我们一筹莫展的时候也要有这么个印象。这样的话我们的解题方法越来越多，解题也会越来越快，越来越顺了。