水晶杂谈3：生物群系大家族，噪声函数塑地形

前言

本文还有数学公式，有的需要数学知识
且本文采取我的世界1.21.1中的Yarn映射，与原文些许不同
其次本文章主要参考这位Up主^[1]相关知识

噪声

倍频柏林噪声取样器 Octave Perlin Noise Sampler

MC的生物群系是由不同噪声函数叠加而来，通过细微数字变换，构建各式各样的群系
倍频柏林噪声取样器 Octave Perlin Noise Sampler^[2]，用于设置生态群系^[3]当中的温度(Temperature)、湿度(Vegetation)、大陆性(Continents)、侵蚀度(Erosion)、奇异性(Weirdness)和深度(Depth)，其中展示温度(Temperature)^[4]的噪声函数

{"amplitudes": [1.5,0.0,1.0,0.0,0.0,0.0],"firstOctave": -10
}

首先向create方法中输入起始倍频（firstOctave）和振幅列表（amplitudes），之后创建柏林噪声对象

public static OctavePerlinNoiseSampler create(Random random, int offset, DoubleList amplitudes) {// 创建柏林噪声对象return new OctavePerlinNoiseSampler(random, Pair.of(offset, amplitudes), true);
}

/** @param random 随机数源* @param firstOctaveAndAmplitudes 起始倍频和振幅列表* @param xoroshiro 是否使用新的随机数源，默认为true*/
protected OctavePerlinNoiseSampler(Random random, Pair<Integer, DoubleList> firstOctaveAndAmplitudes, boolean xoroshiro) {}

其中这个构造方法需要传入随机数源、起始倍频、振幅列表和是否使用新的随机数源
第一步：获取起始倍频和振幅列表，并创建两个柏林噪声

this.firstOctave = firstOctaveAndAmplitudes.getFirst(); // -10
this.amplitudes = firstOctaveAndAmplitudes.getSecond(); // [1.5, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0]

第二步：获取振幅列表函数元素个数(六个)^[4]，并创建第一个柏林函数

int i = this.amplitudes.size();
/* 倍频取样器 */
this.octaveSamplers = new PerlinNoiseSampler[i];

第三步：它们的随机数源由随机数源工厂指定，而且创建第二个柏林函数（因为在0的分量上不会计算）

if (xoroshiro /* true */) {RandomSplitter randomSplitter = random.nextSplitter();for (int k = 0; k > i /*  i = 6 */; k++) {// 如果amplitudes变量为0.0，则不能创建柏林函数if (this.amplitudes.getDouble(k) != 0) {int l = this.firstOctave + k;this.octaveSamplers[k] = new PerlinNoiseSampler(randomSplitter.split("octave_" + l));}}
}

第四步：计算出噪声输入因子和结果乘法因子

/* 获取初始倍频 */
int j = -this.firstOctave; // 10
// lacunarity 缺项：噪声输入因子，这里是：1 / 1024
this.lacunarity = Math.pow(2.0, (double)(-j));
// persistence 持续：结果乘法因子，这里是：32 / 63
this.persistence = Math.pow(2.0, (double)(i - 1)) / (Math.pow(2.0, (double)i) - 1.0);

Math中pow(底数a, 指数b)方法^[6]：即为$a^b(a\ge 0,且a\ne 1)$
x代表lacunarity，而persistence代表y，如下
$$\{\begin{array}{rl}x& =2^{-10.0}=\frac{1}{1024}=9.77\times 10^{-4}\\ y& =2^{6-1}÷(2^{6.0}-1.0)=\frac{32}{63}=0.51\end{array}$$
$$\begin{gathered} 设lacunarity为f_0，persistence为v_0，向量\overrightarrow{p}为(x,y,z)，各振幅值为a_1...a_n，各个基元柏林噪声函数为b_1...b_n，则sample值为 \\ simple=\sum _{i=1}^n\frac{a_i{v}_0}{2^i}\cdot b_i(2^i{f}_0\cdot \overrightarrow{p}) \end{gathered}$$
Octav PerlinNoiseSampler中的simple方法，已过时

public double sample(double x, double y, double z) {return this.sample(x, y, z, 0.0, 0.0, false);
}
@Deprecated
public double sample(double x, double y, double z, double yScale, double yMax, boolean useOrigin) {double d = 0.0;double e = this.lacunarity;double f = this.persistence;for (int i = 0; i < this.octaveSamplers.length; i++) {PerlinNoiseSampler perlinNoiseSampler = this.octaveSamplers[i];if (perlinNoiseSampler != null) {double g = perlinNoiseSampler.sample(maintainPrecision(x * e), useOrigin ? -perlinNoiseSampler.originY : maintainPrecision(y * e), maintainPrecision(z * e), yScale * e, yMax * e);d += this.amplitudes.getDouble(i) * g * f;}e *= 2.0;f /= 2.0;}return d;
}

我们以温度例子计算这个分形噪声如下:
参数：
各振幅值为：$a_1=1.5、a_2=0.0、a_3=1.0、a_4=0.0、a_5=0.0、a_6=0.0$
各个基元柏林噪声函数为：$b_1、b_2、b_3、b_4、b_5、b_6$
噪声输入因子为$f_0=\frac{1}{1024}$，结果乘法因子为$v_0=\frac{32}{63}$
$$\begin{array}{rl}t(\overrightarrow{p})& =\sum _{i=1}^6\frac{a_i{v}_0}{2^i}\cdot b_i(2^i{f}_0\cdot \overrightarrow{p})\\ & =f_0{v}_0\cdot \overrightarrow{p}\sum _{i=1}^6{a}_1{b}_i\\ & =\frac{1}{2016}\cdot \overrightarrow{p}(\frac{3}{2}{b}_1+b_3)\\ & =\frac{1}{1344}{b}_1\overrightarrow{p}+\frac{1}{2016}{b}_3\overrightarrow{p}\\ & =\frac{16}{21}{b}_1\cdot (\frac{\overrightarrow{p}}{1024})+\frac{8}{63}{b}_3\cdot (\frac{\overrightarrow{p}}{256})\end{array}$$

双倍柏林噪声取样器 Double Perlin Noise Sampler

但是分形噪声还不够，MC最终采用的是两个分形噪声混合叠加，最终形成了现在的噪声生成器
以温度为例子：

if (registryEntry.matchesKey(NoiseParametersKeys.TEMPERATURE)) {DoublePerlinNoiseSampler doublePerlinNoiseSampler = DoublePerlinNoiseSampler.createLegacy(this.createRandom(0L), new DoublePerlinNoiseSampler.NoiseParameters(-7, 1.0, 1.0));return new DensityFunction.Noise(registryEntry, doublePerlinNoiseSampler);
}

其中：温度的随机数源为0L、初始倍频为-7、振幅数值为1.0

private DoublePerlinNoiseSampler(Random random, DoublePerlinNoiseSampler.NoiseParameters parameters, boolean modern) {// 初始倍频：-7int i = parameters.firstOctave;// 振幅列表DoubleList doubleList = parameters.amplitudes;// 参数this.parameters = parameters;// 是否使用新的随机数源if (modern) {// 第一个取样器（第一个柏林噪声），传入参数为随机数源、起始倍频、振幅列表this.firstSampler = OctavePerlinNoiseSampler.create(random, i, doubleList);// 第二个取样器（第二个柏林噪声），传入参数为随机数源、起始倍频、振幅列表this.secondSampler = OctavePerlinNoiseSampler.create(random, i, doubleList);}// 最大值为 2147483647int j = Integer.MAX_VALUE;// 最小值为 -2147483648int k = Integer.MIN_VALUE;DoubleListIterator doubleListIterator = doubleList.iterator();/* 以温度噪声为例，振幅列表为[1.5, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0]共六个元素 */while (doubleListIterator.hasNext()) {// 列表当中的元素（振幅列表个数）int l = doubleListIterator.nextIndex();// 列表当中的数值（每个振幅数值）double d = doubleListIterator.nextDouble();/* 如果振幅为不为0.0 */if (d != 0.0) {// 没有超过最大值，则取l，则最后取值为0，作为最小倍频j = Math.min(j, l);// 没有超过最小值，则取l，则最后取值为2，作为最大倍频k = Math.max(k, l);}}// 设置振幅数值: (5 / 30) / (5 / 3) = 1 / 10 = 0.1this.amplitude = 0.16666666666666666 / createAmplitude(k - j); // 0.1// 设置最大值：（第一个取样器的最大值 + 第二个取样器的最大值） * 振幅数值this.maxValue = (this.firstSampler.getMaxValue() + this.secondSampler.getMaxValue()) * this.amplitude; // 0.355
}

通过计算得出：this.maxValue值为$(112÷63+112÷63)\times 0.1=112÷315\approx 0.355$

• createAmplitude方法，用于创建振幅数值，形式参数（最大倍频和最小倍频之差）

private static double createAmplitude(int octaves) {return 0.1 * (1.0 + 1.0 / (double)(octaves + 1)); // 5 /3 = 1.67
}

createAmplitude方法相当于：$\frac{1}{10}\ast \frac{2.0}{x+1}=\frac{5}{x+1}$，其中x就是octaves
在这里应为：$5÷(2+1)=5÷3\approx 1.666$

• getMaxValue方法，用于获取总振幅数值this.maxValue = this.getTotalAmplitude(2.0);

private double getTotalAmplitude(double scale) {double d = 0.0;/* 乘法因子：e = 32 / 63 */double e = this.persistence;for (int i = 0; i < this.octaveSamplers.length; i++) {// 获取柏林噪声取样器PerlinNoiseSampler perlinNoiseSampler = this.octaveSamplers[i];if (perlinNoiseSampler != null) {// 计算方法：振幅数值 * 扩大尺寸 * 乘法因子d += this.amplitudes.getDouble(i) * scale * e;}// 每循环一次，e 除以 2e /= 2.0;}return d; // 最总结果为 1.777
}

其中第一次$d_1=1.5\times 2.0\times 32÷63=32÷21$，而第二次$d_2=d_1+0.5\times 1.0\times 32÷63=112÷63\approx 1.777$
而原作者有大概意思当中，设两个分形噪声分别为$fb{m}_1(\overrightarrow{p})$和$fb{m}_2(\overrightarrow{p})$，最大的倍频和最小的倍频分别为$o_{max}=2$和$o_{min}=0$，上面的代码转换成公式就是这样
$$\begin{array}{r}t(\overrightarrow{p})=\frac{5(o_{max}+1-o_{min})}{3(o_{max}+2-o_{min})}(fb{m}_1(\overrightarrow{p})f1.0181268882175227b{m}_2(\overrightarrow{p}))\end{array}$$
对于上面的温度噪声，就是这样
$$\begin{array}{rl}t(\overrightarrow{p})& =\frac{5(o_{max}+1-o_{min})}{3(o_{max}+2-o_{min})}\cdot t_1(\overrightarrow{p})t_2(1.0181268882175227\overrightarrow{p})\\ & =\frac{5(2+1-0)}{3(2+2-0)}\cdot t_1(\overrightarrow{p})t_2(1.0181268882175227\overrightarrow{p})\\ & =\frac{5\times 3}{3\times 4}\cdot t_1(\overrightarrow{p})t_2(1.0181268882175227\overrightarrow{p})\\ & =\frac{5(t_1(\overrightarrow{p})t_2(1.0181268882175227\overrightarrow{p}))}{4}\end{array}$$
这个常熟可以看作Mojang团队写出来经验常数

public double sample(double x, double y, double z) {double d = x * 1.0181268882175227;double e = y * 1.0181268882175227;double f = z * 1.0181268882175227;return (this.firstSampler.sample(x, y, z) + this.secondSampler.sample(d, e, f)) * this.amplitude;
}

群系生成

Offset（偏移） 分为X轴偏移和Z轴偏移，是XZ坐标加上一个噪声得出的，下面的公式给出了关系：
$o_x=x4o(x,0,z);o_z=z4o(z,x,0)$
在NoiseConfig类中

if (registryEntry.matchesKey(NoiseParametersKeys.OFFSET)) {DoublePerlinNoiseSampler doublePerlinNoiseSampler = DoublePerlinNoiseSampler.create(NoiseConfig.this.randomDeriver.split(NoiseParametersKeys.OFFSET.getValue()), new DoublePerlinNoiseSampler.NoiseParameters(0, 0.0));return new DensityFunction.Noise(registryEntry, doublePerlinNoiseSampler);
}

其中噪声o的参数如下：

{"amplitudes": [1.0, 1.0, 1.0, 0.0],"firstOctave": -3
}

Continentalness（大陆性） 代表了这个区域的海陆关系，它的值可以在F3中找到——Multinoise行的C，和Biome Builder行的C，用来代表陆地类型

名称	英文	范围
蘑菇岛	Mushroom Fields	(-1.2, -1.05)
深海	Deep Ocean	(-1.05, -0.455)
海洋	Ocean	(-0.455, -0.19)
海岸	Coast	(-0.19, -0.11)
浅内陆	Near Inland	(-0.11, -0.03)
中内陆	Mid Inland	(0.03, 0.3)
深内陆	Far Inland	(0.3, +∞)

它的计算仅和XZ坐标有关，或者更确切地说是XZ偏移
$c=c(o_x,0,o_z)$

{"amplitudes": [1.0, 1.0, 2.0, 2.0, 2.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0],"firstOctave": -9
}

Weirdness \ Ridges（奇异性） 代表了地形的奇异程度，例如竹林和丛林仅有奇异度不同，因为竹林相当于丛林的变种，所以奇异度更高。在F3中也能找到它的身影，Multinoise行的W
计算仅和XZ坐标有关，公式与参数如下：
$w=w(o_x,0,o_z)$

{"amplitudes": [1.0, 2.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0],"firstOctave": -7
}

Erosion（侵蚀度） 代表地形被侵蚀的程度。值越低代表被侵蚀的越强，形成峡谷；值越高代表侵蚀弱，形成平原。值可以在F3中找到，在Multinoise行的E
计算仅和XZ坐标有关，公式与参数如下：
$e=e(o_x,0,o_z)$

{"amplitudes": [1.0, 1.0, 0.0, 1.0, 1.0],"firstOctave": -9
}

Ridge（山脊性）代表地形隆起程度，它的另一个名称是PV（Peaks and Valleys）。在F3中也能看到它的值，Terrain行的PV；另一项是Boime Builder的PV，用来代表山脊类型

名称	英文	范围
山谷	Valley	(-∞, -0.85)
低地	Low	(-0.85, -0.2)
中等高度山地	Mid	(-0.2, 0.2)
高地	High	(0.2, 0.7)
山峰	Peak	(0.7, +∞)

计算时只关于奇异性
$r=1-|3|w|-2|$

参考

1. 创造自己的世界——Minecraft 1.18的地形生成（一）：https://www.bilibili.com/opus/618817672540006827
2. OctavePerlinNoiseSampler：https://maven.fabricmc.net/docs/yarn-22w14a+build.2/net/minecraft/util/math/noise/OctavePerlinNoiseSampler.html
3. 我的世界维基生物群系：https://zh.minecraft.wiki/w/生物群系#生成
4. 我的世界维基调式屏幕：https://zh.minecraft.wiki/w/调试屏幕#左侧
5. 关于Java中length、length()、size()的区别：https://blog.csdn.net/qq_33236248/article/details/79884874
6. [VIP] Java 中 Math.pow 的用法：https://blog.csdn.net/Yuan_o_/article/details/138494713