6.【线性代数】—— 列空间和零空间
六 列空间和零空间
- 1. 列空间 C(A)
- 2. 零空间 N(A)
- 2.1 定义
- 2.2 为什么零空间是一个子空间？
- 2.3 Ax=b的解空间，是一个子空间吗？
1. 列空间 C(A)
[
c
o
l
11
c
o
l
21
c
o
l
31
c
o
l
12
c
o
l
22
c
o
l
32
c
o
l
13
c
o
l
23
c
o
l
33
]
⏟
A
[
a
b
c
]
⏟
x
=
a
∗
c
o
l
1
+
b
∗
c
o
l
2
+
c
∗
c
o
l
3
\underbrace{\begin{bmatrix} col_{11}&col_{21}&col_{31}\\ col_{12}&col_{22}&col_{32}\\ col_{13}&col_{23}&col_{33} \end{bmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{bmatrix} a\\b\\c \end{bmatrix}}_{x} =a*col_1+b*col_2+c*col_3
A
col11col12col13col21col22col23col31col32col33
x
abc
=a∗col1+b∗col2+c∗col3
将矩阵的每一列，看成一个向量，他们的所有线性组合（数乘和加法）在一个子空间中，这个子空间，记为 C(A)，即A的列空间。
与Ax=b联系，对于每一个b都有解吗？
不是，当b在矩阵A的列空间中，有解。
线性无关：无法通过数乘和加法，计算出其他的向量。
2. 零空间 N(A)
2.1 定义
矩阵A的零空间 ：满足 Ax =0 的所有向量。
举例：
[
1
1
2
2
1
3
3
1
4
4
1
5
]
⏟
A
[
x
1
x
2
x
3
]
⏟
x
=
0
\underbrace{\begin{bmatrix} 1&1&2\\ 2&1&3\\ 3&1&4\\ 4&1&5 \end{bmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{bmatrix}}_{x} =0
A
123411112345
x
x1x2x3
=0
x
=
[
0
0
0
]
,
[
1
1
−
1
]
,
[
−
1
−
1
1
]
.
.
.
=
c
[
1
1
−
1
]
\begin{aligned} x &= \begin{bmatrix} 0\\0\\0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1\\1\\-1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1\\-1\\1 \end{bmatrix}... \newline & = c\begin{bmatrix} 1\\1\\-1 \end{bmatrix} \end{aligned}
x=
000
,
11−1
,
−1−11
...=c
11−1
因为矩阵A中，前两列之和=第三列。
2.2 为什么零空间是一个子空间？
A
x
=
0
，已知
v
和
w
在零空间中，那么
A
v
=
0
,
A
w
=
0
Ax = 0，已知v和w在零空间中，那么Av=0,Aw=0
Ax=0，已知v和w在零空间中，那么Av=0,Aw=0
验证向量空间的性质，1. 包含零向量，很明显零向量，满足
A
x
=
0
Ax =0
Ax=0。 2. 加法和数乘都在空间中(加法和数乘组成的线性空间)。
A
(
c
v
)
=
c
A
v
=
0
A
(
d
w
)
=
d
A
w
=
0
A
(
c
v
+
d
w
)
=
A
c
v
+
A
d
w
=
0
A(cv)=cAv=0 \newline A(dw)=dAw=0 \newline A(cv+dw) = Acv+Adw = 0 \newline
A(cv)=cAv=0A(dw)=dAw=0A(cv+dw)=Acv+Adw=0
c , d c,d c,d为常数
2.3 Ax=b的解空间，是一个子空间吗？
不是，不含有零向量。