机器学习之深入理解机器学习常见算法：原理、公式与应用

机器学习之深入理解机器学习常见算法：原理、公式与应用

机器学习是一门让计算机自动从数据中学习规律的技术体系。常见的机器学习算法可以分为监督学习、无监督学习和深度学习三大类。本文将系统介绍每类中具有代表性的算法，并深入剖析其核心原理与数学基础。

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一、监督学习（Supervised Learning）

监督学习依赖标注数据来训练模型，目标是学习一个从输入到输出的函数映射。其任务包括分类（预测类别）与回归（预测连续值）。

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1. 线性回归（Linear Regression）

用于预测连续型变量，假设输入特征与输出之间存在线性关系。

模型公式：

$$\hat{y}=w_0+w_1{x}_1+w_2{x}_2+\cdots +w_n{x}_n={\mathbf{w}}^T\mathbf{x}+b$$

损失函数（最小二乘法）：

$$\mathcal{L}(\mathbf{w})=\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m({\hat{y}}^{(i)}-y^{(i)}{)}^2$$

其中 $m$ 是样本数量，${\hat{y}}^{(i)}$ 是模型预测值，$y^{(i)}$ 是真实值。

求解方式：最小化损失函数，常用梯度下降或解析解：

$$\mathbf{w}=({\mathbf{X}}^T\mathbf{X}{)}^{-1}{\mathbf{X}}^T\mathbf{y}$$

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2. 逻辑回归（Logistic Regression）

用于二分类问题，核心思想是将线性模型输出映射到概率空间。

模型公式：

$$P(y=1|\mathbf{x})=\sigma ({\mathbf{w}}^T\mathbf{x}+b)=\frac{1}{1+e^{-({\mathbf{w}}^T\mathbf{x}+b)}}$$

损失函数（对数似然）：

$$\mathcal{L}(\mathbf{w})=-\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\left[y^{(i)}\log {\hat{y}}^{(i)}+(1-y^{(i)})\log (1-{\hat{y}}^{(i)})\right]$$

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3. 支持向量机（SVM）

SVM试图构造最大间隔超平面来分离不同类别。

线性SVM目标函数（硬间隔）：

$$\underset{\mathbf{w},b}{\min }\frac{1}{2}\Vert \mathbf{w}{\Vert }^2\text{s.t. }{y}^{(i)}({\mathbf{w}}^T{\mathbf{x}}^{(i)}+b)\ge 1$$

软间隔引入松弛变量与惩罚项（带参数 $C$）：

$$\underset{\mathbf{w},b,\mathbf{\xi }}{\min }\frac{1}{2}\Vert \mathbf{w}{\Vert }^2+C\sum _{i=1}^m{\xi }_i\text{s.t. }{y}^{(i)}({\mathbf{w}}^T{\mathbf{x}}^{(i)}+b)\ge 1-{\xi }_i,{\xi }_i\ge 0$$

核函数扩展到非线性分类。

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4. K近邻算法（KNN）

一种懒惰学习算法，无需训练过程。对新样本，计算与训练集中每个样本的距离，选出最近的 $K$ 个邻居，根据其类别进行投票。

距离计算（欧氏距离）：

$$d(\mathbf{x},{\mathbf{x}}^{\prime })=\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i-x_i^{\prime }{)}^2}$$

优点：简单易实现，适用于小规模数据。
缺点：计算代价大，对噪声敏感。

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5. 决策树（Decision Tree）

通过信息熵或基尼指数对特征进行分裂，从而构建分类或回归模型。

信息增益（ID3算法）：

$$Gain(D,A)=Ent(D)-\sum _{v\in \text{values}(A)}\frac{|D_v|}{|D|}Ent(D_v)$$

基尼指数（CART算法）：

$$Gini(D)=1-\sum _{k=1}^K{p}_k^2$$

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6. 随机森林（Random Forest）

集成学习方法，通过构建多个决策树，使用投票（分类）或平均（回归）提高预测精度。

关键思想：

• 训练样本采用 bootstrap 抽样（有放回）
• 每棵树随机选取部分特征进行划分

优点：抗过拟合、性能稳定。
缺点：模型复杂，不易解释。

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二、无监督学习（Unsupervised Learning）

无监督学习旨在从未标注数据中发现数据的结构、分布或潜在规律。

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1. K-均值聚类（K-Means）

将数据分为 $K$ 个簇，使得每个样本到其簇中心的距离最小。

目标函数：

$$\min \sum _{k=1}^K\sum _{{\mathbf{x}}_i\in C_k}\Vert {\mathbf{x}}_i-{\mathbf{\mu }}_k{\Vert }^2$$

其中 ${\mathbf{\mu }}_k$ 是第 $k$ 个簇的均值中心。

算法步骤：

1. 初始化 $K$ 个中心
2. 分配样本到最近中心
3. 更新中心
4. 重复直到收敛

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2. 主成分分析（PCA）

一种降维算法，通过线性变换将原始数据映射到低维空间，同时保留最大方差。

目标函数：
最大化投影后的方差：

$$\underset{\mathbf{w}}{\max }{\mathbf{w}}^{T}S\mathbf{w}\text{s.t. }\Vert \mathbf{w}\Vert =1$$

其中 $S$ 为样本协方差矩阵。

解法：选取协方差矩阵的前 $k$ 个主特征向量。

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三、深度学习（Deep Learning）

深度学习是基于人工神经网络的非线性建模方法，能自动提取高层特征，适用于复杂任务和大数据场景。

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1. 人工神经网络（ANN）

由多个神经元组成，每个神经元为一个激活函数作用下的线性组合。

单个神经元：

$$a=\sigma ({\mathbf{w}}^T\mathbf{x}+b)$$

常见激活函数：

• Sigmoid: $\sigma (x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$
• ReLU: $f(x)=\max (0,x)$

**反向传播（Backpropagation）**用于训练，通过链式法则更新权重以最小化损失函数。

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2. 卷积神经网络（CNN）

专为图像任务设计，核心包括卷积层、池化层和全连接层。

• 卷积操作：

$$s(i,j)=(\mathbf{X}\ast \mathbf{K})(i,j)=\sum _m\sum _n\mathbf{X}(i+m,j+n)\mathbf{K}(m,n)$$

• 池化操作：最大池化或平均池化，降低特征维度、抑制过拟合

应用：图像分类、目标检测、医学图像分析等。

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3. 循环神经网络（RNN）

适用于序列建模，具有时间记忆能力。

状态更新公式：

$$h_t=\tanh (W_h{h}_{t-1}+W_x{x}_t+b)$$

问题：传统RNN存在梯度消失，改进模型如LSTM和GRU被提出。

应用：文本生成、机器翻译、时间序列预测等。

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总结

类型	算法	应用方向
监督学习	线性/逻辑回归、SVM等	回归预测、分类识别
无监督学习	K均值、PCA	聚类分析、降维可视化
深度学习	ANN、CNN、RNN	图像、文本、语音处理等

选择合适的算法不仅要考虑数据类型和规模，也需结合任务目标和可解释性需求。