SD3 的采样上篇——Flow Matching

大家好，这里是Goodnote（好评笔记）。本篇介绍 SD3 模型的采样方法上篇——Flow Matching。号称最强模型之一的文生图模型使用的采样方法，是和之前的SD系列模型完全不一样的采样方法。

写在开头

SD3 的采样方法是基于 RF（Rectified Flow）做的改进，而 RF（Rectified Flow）是在Flow Matching（FM）的基础上改进的，所以我们按照先后关系进行讲解，即先讲FM，再讲RF和SD3在其基础上做的优化。

原计划一篇文章讲完SD3的采样方法，但是本文讲完Flow Matching（FM），已经1.7w字，所以，RF和SD3在其基础上做的优化放在下一篇：SD3的采样下篇——Rectified Flow。下面正式开始！！！

论文

SD3论文：Scaling Rectified Flow Transformers for High-Resolution Image Synthesis

FLUX.1论文：未公开

Flow Matching论文：FLOW MATCHING FOR GENERATIVE MODELING

Rectified Flow论文：Flow Straight and Fast: Learning to Generate and Transfer Data with Rectified Flow 和 Rectified Flow: A Marginal Preserving Approach to Optimal Transport

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借用某乎上大佬的图(来源)来描述整个扩散过程如下：

• 前向扩散：这里的每一个点（注意，是点，不是整个框），其实就对应于图像空间的一张图（上图中的小猫），蓝色箭头就是在不断加噪的过程，每次随机加入一定强度的噪声。一个前向传播的过程如下：
  

• 反向扩散：依据训练过程中学到的预测噪声能力，将预测出的噪声去除，逐步恢复图像。蓝色箭头就是在不断预测并去除噪声的过程。2个反向传播过程如下：

  反向扩散不是严格的从某个点映射到某个点了。而是从高斯噪声空间随机采样一个点，然后依次往回映射。假设模型已经训练好了，这时候其实靠的就是模型的泛化能力了。假如在高斯噪声空间，你采样了个红点附近的噪声，那么模型只能保证你映射回图像的时候也在红点附近。

  

详细的扩散过程可以参考本系列中的历史文章：
Stable Diffusion 笔记合集 中的《Diffusion Model原理》和 《Stable Diffusion的加噪和去噪详解》。

本文结尾会给出FM的前向传播和反向传播过程，可以理解为 DDPM 是一步一步的逐步生成过程（逐步去噪），但是 FM 是一步到位的（直接通过 ODE 求解生成路径）。

Flow Matching

Flow Matching (FM) 和 Rectified Flow (RF) 是基于 概率流动 的生成建模技术。它们的核心思想是通过对初始分布（通常是高斯分布）和目标分布（如真实图像分布） 之间的 流动过程 建模，生成符合目标分布的数据样本。通过学习流场或流动路径，数据可以从易采样的初始分布逐步演化为复杂的目标分布。

• FM 从初始分布（如高斯分布）到目标分布（如真实图像分布）的流动路径中，学习一个连续的向量场 v(x,t)，精确描述概率流动的变化。描述如何从初始分布逐步流动到目标分布。
• RF 对 Flow Matching 的简化和优化，假设路径为直线路径或分段线性路径，并通过梯度修正增强灵活性和效率。

这两种方法都属于基于流动路径的生成建模技术，是现代扩散模型等生成框架的重要理论基础。

Flow Matching (FM) 是一种生成建模技术，通过学习从初始分布（如高斯分布）到目标分布（如真实图像分布）的连续流动路径，描述数据的演化过程。FM 的核心是通过一个时间依赖的向量场 $v(x,t)$ 建模这种流动，使得数据分布从起始状态平滑地转变为目标状态。其训练目标是通过优化损失函数，使学习到的流场 $v(x,t)$ 精确匹配真实流动的梯度信息，从而确保生成样本的质量。然而，FM 的主要挑战在于复杂流场的学习和数值计算的高成本，特别是在高维数据上易导致不稳定性。

Rectified Flow (RF) 是对 Flow Matching 的简化和优化，通过假设起始分布到目标分布的流动路径为 直线路径或分段线性路径（当直线路径无法很好地描述复杂分布之间的流动时，RF 支持将路径划分为多个时间段），并引入梯度修正项 $r(x,t)$，显著降低了计算复杂度并提升数值稳定性。在 RF 中，数据沿着直线路径流动，同时修正项对路径的偏差进行调整，使得生成结果更接近目标分布。RF 的这一改进减少了采样步数需求，并且在混合精度训练中表现更稳定。

与 FM 相比，RF 更适用于高分辨率生成任务和复杂模态的联合建模，如 SD 3 和 FLUX 系列模型，均采用 RF 来优化其扩散过程。

下面将详细介绍Flow Matching (FM) 和 Rectified Flow (RF)【下一节讲】 。

Flow Matching概要

首先我们先来了解一下FM的背景、核心目标、损失函数和训练生成的过程，之后再详细的解释其中的公式等。

Flow Matching（FM）是一种生成建模技术，通过学习从初始分布到目标分布的连续流动过程（流场）来生成数据。FM 的核心思想是建模分布之间的流动路径，使得输入分布“一步”演化为目标分布，同时简化了生成过程的理论框架和实现难度。

1. 背景与目标

(1) 生成模型的基本目标

在生成建模中，我们希望学习一个从初始分布 $p_0(z)$ 到目标分布 $p_t(z)$ 的映射，其中：

• 初始分布 $p_0(z)$： 一个已知且易于采样的简单分布，例如标准高斯分布。
• 目标分布 $p_t(z)$： 我们希望生成的复杂数据分布，例如自然图像、文本等。

(2) Flow Matching 的核心思想

Flow Matching 通过学习一个时间依赖的向量场 $v_{\Theta }(z,t)$，使得数据点 $z$ 在时间 $t\in [0,T]$ 内从初始分布演化到目标分布。这个演化过程描述了分布之间的“流动”路径。

2. Flow Matching 的数学原理

这里简单介绍下核心，后面详细介绍公式。

(1) 时间演化方程

在时间 $t$，数据点 $z$ 的演化由以下方程描述：
$$\frac{\partial z}{\partial t}=v_{\Theta }(z,t),$$
其中 $v_{\Theta }(z,t)$ 是模型学习的流场。

(2) 损失函数的定义

为了使模型学习到的流场$v_{\Theta }(z,t)$ 与 真实流场$u_t(z)$ 一致，我们定义以下损失函数：
$${\mathcal{L}}_{\text{FM}}={\mathbb{E}}_{t,p_t(z)}\left[\Vert v_{\Theta }(z,t)-u_t(z){\Vert }^2\right],$$
其中：

• $u_t(z)$ 是参考路径的真实流场。
• $p_t(z)$ 是时间 $t$ 时的分布。

3. Flow Matching 的训练方法

(1) 参考路径的采样

为了训练流场 $v_{\Theta }(z,t)$，我们需要构建从初始分布 $p_0(z)$ 到目标分布 $p_t(z)$ 的参考路径。具体步骤如下：

1. 采样数据点：

   • 从初始分布 $p_0(z)$ 中采样 $z_0$。
   • 从目标分布 $p_t(z)$ 中采样 $z_t$。

2. 采样时间 $t$：

   • 从均匀分布 $t\sim \text{Uniform}(0,T)$ 中采样时间点 $t$。

3. 构建参考路径：

   • 定义插值路径（例如线性插值）：
     $$z(t)=z_0+\frac{t}{T}(z_t-z_0).$$

(2) 计算真实流场

参考路径的真实流场 $u_t(z)$ 可以通过对 $z(t)$ 关于 $t$ 的导数计算得到：

$$u_t(z)=\frac{\partial z(t)}{\partial t}=\frac{z_t-z_0}{T}.$$

(3) 计算学习到的流场 $v_{\Theta }(z,t)$

将 $z(t)$ 和 $t$ 作为输入，传入神经网络模型 $v_{\Theta }$：
$$v_{\Theta }(z,t)=\text{NeuralNet}(z(t),t),$$
输出的是模型预测的流场 $v_{\Theta }(z,t)$。

(4) 损失函数

训练目标是使模型学习到的流场$v_{\Theta }(z,t)$ 与 真实流场$u_t(z)$ 一致，我们定义以下损失函数：

$${\mathcal{L}}_{\text{FM}}={\mathbb{E}}_{t,p_t(z)}\Vert v_{\Theta }(z,t)-u_t(z){\Vert }_2^2$$

• 关键点：

  • 这里的流场 $v_{\Theta }(z,t)$ 和 $u_t(z)$ 是基于时间 $t$ 和数据分布 $p_t(z)$ 而定义的。
  • 不涉及条件变量 $ϵ$。
  • 主要用于无条件生成任务，例如生成自然图像等。

• 公式解释：

  • $t$: 时间变量，定义在区间 $[0,T]$ 内，描述从初始分布 $p_0(z)$ 到目标分布 $p_T(z)$ 的演化。
  • $z$: 数据点的位置，属于数据分布 $p_t(z)$。
  • $p_t(z)$: 时间 $t$ 时的数据分布，描述无条件下数据的演化过程。
  • $v_{\Theta }(z,t)$: 模型学习到的流场（向量场），描述 $z$ 在时间 $t$ 时的变化方向和速率。
  • $u_t(z)$: 真实的流场，是参考路径中 $z$ 在时间 $t$ 上的变化速率（通常通过插值计算）。
  • $\Vert \cdot {\Vert }_2^2$: 欧几里得范数的平方，用于衡量模型流场与真实流场之间的误差。

4. 引入条件变量

在某些情况下，我们希望生成的样本满足特定的条件 $ϵ$。这时，我们需要引入条件流匹配（Conditional Flow Matching, CFM），并调整上述公式。

(1) 条件分布

• 条件初始分布 $p_0(z\mid ϵ)$： 在条件 $ϵ$ 下的初始分布。
• 条件目标分布 $p_t(z\mid ϵ)$： 在条件 $ϵ$ 下的目标分布。

(2) 条件流场

真实流场 $u_t(z\mid ϵ)$：定义了在给定条件 $ϵ$ 下，数据点 $z$ 应该如何流动，通常通过参考路径的导数计算得到。
注意：这里的学习流场未显式依赖于 $ϵ$，但通过 $p_t(z\mid ϵ)$ 隐式建模条件信息。显示依赖于 $ϵ$ 的学习流场会写成$v_{\Theta }(z,t,ϵ)$

(3) 损失函数

条件流匹配的损失函数为：

CFM 的损失函数为：

$${\mathcal{L}}_{\text{CFM}}={\mathbb{E}}_{t,p_t(z\mid ϵ),p(ϵ)}\Vert v_{\Theta }(z,t)-u_t(z\mid ϵ){\Vert }_2^2$$

• 关键点：

  • 这里引入了条件变量 $ϵ$，使得流场 $u_t(z\mid ϵ)$ 和数据分布 $p_t(z\mid ϵ)$ 都依赖于 $ϵ$。
  • 条件流场 $u_t(z\mid ϵ)$ 描述了在给定条件 $ϵ$ 下的真实流场演化。
  • 模型的学习目标是生成符合条件 $ϵ$ 的样本。

• 公式解释：

  • $t$: 时间变量，定义在区间 $[0,T]$ 内，描述从条件初始分布 $p_0(z\mid ϵ)$ 到条件目标分布 $p_T(z\mid ϵ)$ 的演化。
  • $z$: 数据点的位置，属于条件分布 $p_t(z\mid ϵ)$。
  • $ϵ$: 条件变量，描述外部的控制信号或生成任务的特定条件，例如文本描述或类别标签。
  • $p_t(z\mid ϵ)$: 时间 $t$ 时，在条件 $ϵ$ 下的数据分布。
  • $p(ϵ)$: 条件变量的分布，描述不同条件的概率分布。
  • $v_{\Theta }(z,t)$: 模型学习到的流场，描述 $z$ 在时间 $t$ 时的变化方向和速率。注意：这里的流场未显式依赖于 $ϵ$，但通过 $p_t(z\mid ϵ)$ 隐式建模条件信息。显示的会写成$v_{\Theta }(z,t,ϵ)$
  • $u_t(z\mid ϵ)$: 条件下的真实流场，是条件参考路径中 $z$ 在时间 $t$ 上的变化速率（通过条件插值路径计算）。
  • $\Vert \cdot {\Vert }_2^2$: 欧几里得范数的平方，用于衡量模型流场与条件真实流场之间的误差。

• 是否包含 $ϵ$： 取决于实现设计。

  • 显式依赖：$v_{\Theta }(z,t,ϵ)$，条件直接作为输入。
  • 隐式依赖：$v_{\Theta }(z,t)$，条件通过分布 $p_t(z\mid ϵ)$ 传递。

如果是显式依赖$ϵ$，则CFM 的损失函数可以写为：
$${\mathcal{L}}_{\text{CFM}}={\mathbb{E}}_{t,p_t(z\mid ϵ),p(ϵ)}\left[\Vert v_{\Theta }(z,t,ϵ)-u_t(z\mid ϵ){\Vert }^2\right].$$

说明：因为我们主要讨论的是SD3 模型中的FM，所以后面的训练和推理过程讨论主要针对CFM，即加入条件变量的FM（文生图中的文本条件）。

5. 训练与生成过程

(1) 训练阶段

1.采样条件 $ϵ$：

• 从 $p(ϵ)$ 中采样条件 $ϵ$。

2.采样数据点：

• 从 $p_0(z\mid ϵ)$ 中采样初始数据点 $z_0$。
• 从 $p_t(z\mid ϵ)$ 中采样目标数据点 $z_t$。

3.采样时间 $t$：

• 从均匀分布 $t\sim \text{Uniform}(0,T)$ 中采样时间点 $t$。

4.计算参考路径和真实流场：

• 构建参考路径：
  $$z(t)=z_0+\frac{t}{T}(z_t-z_0).$$
• 计算真实流场：
  $$u_t(z\mid ϵ)=\frac{\partial z(t)}{\partial t}=\frac{z_t-z_0}{T}.$$

5.计算学习到的流场 $v_{\Theta }(z,t)$

• 将 $z(t)$ 和 $t$ 作为输入，传入神经网络模型 $v_{\Theta }$：
  $$v_{\Theta }(z,t)=\text{NeuralNet}(z(t),t),$$
  • 输出的是模型预测的流场 $v_{\Theta }(z,t)$。

6.最小化损失函数：

• 使用损失函数：
  $${\mathcal{L}}_{\text{CFM}}={\mathbb{E}}_{t,p_t(z\mid ϵ),p(ϵ)}\Vert v_{\Theta }(z,t)-u_t(z\mid ϵ){\Vert }^2.$$
  • 通过梯度下降优化模型参数 $\Theta$。

7.梯度计算：

• 对损失函数 ${\mathcal{L}}_{\text{CFM}}$ 关于模型参数 $\Theta$ 的梯度：
  $${\nabla }_{\Theta }{\mathcal{L}}_{\text{CFM}}=\frac{\partial {\mathcal{L}}_{\text{CFM}}}{\partial \Theta },$$
  • 需要使用反向传播自动计算。

8.参数更新：

• 使用优化算法（如 SGD 或 Adam），通过梯度下降更新参数：
  $$\Theta \leftarrow \Theta -\eta {\nabla }_{\Theta }{\mathcal{L}}_{\text{CFM}},$$
  • 其中 $\eta$ 是学习率。

(2) 生成阶段

1.采样条件 $ϵ$：

• 从 $p(ϵ)$ 中选择或指定条件 $ϵ$。

2.采样初始数据点：

• 从条件初始分布 $p_0(z\mid ϵ)$ 中采样 $z_0$。通常，$p_0(z\mid ϵ)$ 是一个简单的分布（如条件独立的高斯分布）。

3.时间演化：

• 描述流场的两种情况：

  • 显式流场：$v_{\Theta }(z,t,ϵ)$，直接依赖条件 $ϵ$。
  • 隐式流场：$v_{\Theta }(z,t)$，条件 $ϵ$ 被隐式建模（通过目标分布的特性传递）。

• 通过微分方程演化（时间演化的具体实现方式）：

  • 使用微分方程(从初始点 $z_0$ 开始，演化到时间 $t=T$时候的生成样本 $z_t$):
    $$\frac{\partial z}{\partial t}=v_{\Theta }(z,t,ϵ)\text{或}\frac{\partial z}{\partial t}=v_{\Theta }(z,t),$$

由于学习流场通常是通过神经网络建模的，无法解析计算积分。因此，求解上述微分方程需要 数值方法，主要包括 欧拉法 和 Runge-Kutta （RK4）方法。

1.时间步长 $\Delta t$ 的选择：

• 太大会导致不准确，太小则增加计算成本。
• 经验上，$\Delta t$ 需通过实验调整以平衡精度和效率。

2.方法选择：

• 欧拉法适合快速实验和初步测试，但精度可能不足。
• RK4 方法更适合高质量生成，尤其是在生成复杂分布时。

欧拉法
欧拉法是一种简单的时间离散方法。对于每一步 $k$： $$z_{k+1}=z_k+\Delta t\cdot v_{\Theta }(z_k,t_k,ϵ),$$ 其中：

• $z_k$：第 $k$ 步时的数据点位置。
• $t_k=k\cdot \Delta t$：当前时间。
• $\Delta t$：时间步长。

欧拉法的优点是简单易实现，但精度较低，适合初步实验。

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Runge-Kutta 方法
Runge-Kutta 方法（如 RK4）是更高阶的数值积分方法，具有更高的精度。以下是 RK4 的公式对于每一步 $k$：

1.计算中间变量： $$k_1=\Delta t\cdot v_{\Theta }(z_k,t_k,ϵ),$$ $$k_2=\Delta t\cdot v_{\Theta }(z_k+\frac{k_1}{2},t_k+\frac{\Delta t}{2},ϵ),$$ $$k_3=\Delta t\cdot v_{\Theta }(z_k+\frac{k_2}{2},t_k+\frac{\Delta t}{2},ϵ),$$
$$k_4=\Delta t\cdot v_{\Theta }(z_k+k_3,t_k+\Delta t,ϵ).$$

2.更新位置： $$z_{k+1}=z_k+\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4).$$

RK4 方法在每一步中需要多次评估流场 $v_{\Theta }$，计算量更大，但精度更高，适合对生成结果要求较高的场景。

4. 获取生成样本：
   • 最终的 $z_t$ 就是符合条件 $ϵ$ 的生成样本。

---

6. 总结

Flow Matching 技术通过学习一个时间依赖的流场 $v_{\Theta }(z,t)$，实现了从初始分布到目标分布的连续映射。在条件流匹配（CFM）中，进一步引入了条件变量 $ϵ$，使得生成模型可以在给定条件下生成样本。损失函数 ${\mathcal{L}}_{\text{CFM}}$ 用于衡量模型学习到的流场与真实流场之间的差异，通过最小化该损失函数来训练模型。

Flow Matching公式

下面主要讲解 Flow Matching 在SD3论文：Scaling Rectified Flow Transformers for High-Resolution Image Synthesis 中的公式和推导过程。

1. Flow Matching 的基本概念

目标

希望从噪声分布 $p_1(x)$（如高斯分布）到数据分布 $p_0(x)$ 映射样本，通过定义一个常微分方程（ODE）描述流动过程：
$$\frac{d{y}_t}{dt}=v_{\Theta }(y_t,t),$$

• $y_t$：在时间 $t$ 时的样本状态。描述了从 $p_1(x)$ 到 $p_0(x)$ 的概率路径。【等同于后续出现的$z_t$】
• $v_{\Theta }(y_t,t)$：流动向量场，表示在时间 $t$ 上样本 $y_t$ 移动的速度。由神经网络参数化，$\Theta$ 是神经网络的参数。
  • 作用：控制数据在时间上的变化方向，是整个流动模型的核心。
• $\Theta$：神经网络的参数，通过训练学习到最优值。
• $t$：时间变量，取值范围为 $t\in [0,1]$：
  • $t=0$：对应起始分布 $p_0(x)$（通常是数据分布）。
  • $t=1$：对应目标分布 $p_1(x)$（通常是标准正态分布 $\mathcal{N}(0,I)$）。

直接求解微分方程的问题

直接通过微分求解（如 Chen 等人在 2018 年提出的神经 ODE 方法）计算生成路径，计算成本非常高，尤其在处理高维数据时，需要大量的计算资源。

引入向量场 $u_t$

Flow Matching 不再直接求解微分方程，而是引入一个向量场 $u_t$，通过对概率路径建模，生成从 $p_1$ 到 $p_0$ 的平滑转换。我们就可以用ODE的常用求解器（欧拉方法，K4等）实现从一个高斯噪声到真实数据的生成。

此处（SD3论文）描述的是反向扩散（去除噪声，恢复图像的流程）从 $p_1$ 到 $p_0$ 。如下图：

原始FM论文中的定义是与之相反，是从$p_0$ 到 $p_1$的。如下图：

2. 正向过程中的定义

这个过程类似于扩散模型中的正向扩散（加噪） 过程。它描述了从数据分布 $p_0(x)$（通常是目标分布）到噪声分布 $p_1(x)$（通常是标准正态分布 $\mathcal{N}(0,I)$ ）的过渡。

定义概率路径

为构造概率路径 $p_t$，前向过程 $z_t$定义：
$$z_t=a_t{x}_0+b_tϵ,ϵ\sim \mathcal{N}(0,I),$$

• $z_t$：在时间 $t$ 上的中间状态样本（从起始样本 $x_0$ 和噪声 $ϵ$ 线性插值生成）。
• $x_0$：来自起始分布 $p_0(x)$ 的样本（通常是数据样本）。
• $ϵ$：独立采样的标准高斯噪声，$ϵ\sim \mathcal{N}(0,I)$。
• $a_t,b_t$：控制数据样本和噪声贡献的权重系数。它们是时间 $t$ 的函数：
  • $a_t$：表示数据分布在 $t$ 时的贡献权重。
  • $b_t$：表示噪声分布在 $t$ 时的贡献权重。

样本 $z_t$ 是从数据分布 $p_0$ 到噪声分布 $p_1$ 的路径 $p_t$，是一个曲线。此过程受权重 $a_t$ 和 $b_t$ 控制，其中 $a_t$ 和 $b_t$ 是时间 $t$ 的非线性函数。非线性的 $a_t$ 和 $b_t$ 会导致路径为曲线，而不是简单的直线。

边界条件

• 当 $t=0$ 时：
  $$a_0=1,b_0=0,z_0=x_0\sim p_0(x).$$

  • 样本完全来自数据分布，噪声无贡献。

• 当 $t=1$ 时：
  $$a_1=0,b_1=1,z_1=ϵ\sim \mathcal{N}(0,I)或者p_1.$$

  • 样本完全来自噪声分布。

---

3. 条件向量场

定义条件向量场

$$u_t(z\mid ϵ):=\frac{\partial }{\partial t}{\psi }_t({\psi }_t^{-1}(z\mid ϵ)\mid ϵ),$$

• $u_t(z\mid ϵ)$：在给定噪声条件 $ϵ$ 下的向量场。
  • 作用：描述样本 $z_t$ 在时间 $t$ 上的运动速率。
• ${\psi }_t$：从 $x_0$ 到 $z_t$ 的映射函数：
  $${\psi }_t(x_0\mid ϵ)=a_t{x}_0+b_tϵ.$$
  • 作用：通过 $a_t$ 和 $b_t$ 的权重组合，构建从数据到噪声的过渡路径。

向量场具体表达式

$$u_t(z_t\mid ϵ)=\frac{a_t^{\prime }}{a_t}{z}_t-ϵb_t\left(\frac{a_t^{\prime }}{a_t}-\frac{b_t^{\prime }}{b_t}\right)$$

• $\frac{a_t^{\prime }}{a_t},\frac{b_t^{\prime }}{b_t}$：描述 $a_t,b_t$ 的时间变化速率。
  • $a_t^{\prime },b_t^{\prime }$ 是相对于时间 $t$ 的导数。
• 第一项 $\frac{a_t^{\prime }}{a_t}{z}_t$：描述样本 本身的变化速度。
• 第二项 $-ϵb_t\left(\frac{a_t^{\prime }}{a_t}-\frac{b_t^{\prime }}{b_t}\right)$：描述噪声在样本中的动态变化。

---

4. 信噪比（SNR）${\lambda }_t^{\prime }$的重新参数化

为了进一步简化，定义信噪比（Signal-to-Noise Ratio, ${\lambda }_t$）：
$${\lambda }_t:=\log \left(\frac{a_t^2}{b_t^2}\right),$$

• ${\lambda }_t$：衡量信号（数据）与噪声的比例。
  • 当 $t\to 0$：信号占主导，${\lambda }_t\to \infty$。
  • 当 $t\to 1$：噪声占主导，${\lambda }_t\to -\infty$。
• 导数 ${\lambda }_t^{\prime }$：
  $${\lambda }_t^{\prime }=2\left(\frac{a_t^{\prime }}{a_t}-\frac{b_t^{\prime }}{b_t}\right).$$
  引入信噪比后，向量场可以重写为：
  $$u_t(z_t\mid ϵ)=\frac{a_t^{\prime }}{a_t}{z}_t-\frac{b_t}{2}{\lambda }_t^{\prime }ϵ.$$
  • 第一项 $\frac{a_t^{\prime }}{a_t}{z}_t$：表示数据部分的贡献。
  • 第二项 $-\frac{b_t}{2}{\lambda }_t^{\prime }ϵ$：表示噪声部分的贡献。

---

5. 原始 Flow Matching 损失函数定义

$${\mathcal{L}}_{\text{FM}}={\mathbb{E}}_{t,p_t(z)}\Vert v_{\Theta }(z,t)-u_t(z){\Vert }_2^2$$

• ${\mathcal{L}}_{\text{FM}}$：衡量学习到的速度场 $v_{\Theta }(z,t)$ 与真实速度场 $u_t(z)$ 的差异。

---

6. 原始条件化损失函数定义

(1) 条件化损失

为解决边缘化的难点（最后详细介绍），将损失重写为条件化形式：
$${\mathcal{L}}_{\text{CFM}}={\mathbb{E}}_{t,p_t(z\mid ϵ),p(ϵ)}\Vert v_{\Theta }(z,t)-u_t(z\mid ϵ){\Vert }_2^2$$

• 条件化损失的优点：
  • 通过引入噪声条件 $ϵ$，消除了对边缘分布 $p_t(z)$ 的直接依赖，更易计算。

(2) 噪声预测目标

最终，将损失转换为噪声预测形式：
$${\mathcal{L}}_{\text{CFM}}={\mathbb{E}}_{t,p_t(z\mid ϵ),p(ϵ)}\left(-\frac{b_t}{2}{\lambda }_t^{\prime }\Vert {ϵ}_{\Theta }(z,t)-ϵ{\Vert }^2\right),$$

• ${ϵ}_{\Theta }$：神经网络的噪声预测目标，定义为：

$${ϵ}_{\Theta }:=\frac{-2}{{\lambda }_t^{\prime }{b}_t}\left(v_{\Theta }-\frac{a_t^{\prime }}{a_t}z\right).$$

变量解析：

1. ${ϵ}_{\Theta }$：

   • 这是神经网络预测的噪声目标，用于与真实噪声 $ϵ$ 进行比较。
   • 这个量将 $(v_{\Theta },z)$ 的关系转化为扩散模型中的标准噪声预测任务。

2. $-\frac{2}{{\lambda }_t^{\prime }{b}_t}$：

   • 这是一个缩放因子，取决于时间相关的信噪比导数 ${\lambda }_t^{\prime }$ 和权重系数 $b_t$。
   • 确保噪声预测任务在优化过程中数值稳定。

3. $(v_{\Theta }-\frac{a_t^{\prime }}{a_t}z)$：

   • 这里表示神经网络预测的速度场 $v_{\Theta }$ 减去通过 $\frac{a_t^{\prime }}{a_t}z$ 计算的线性项。
   • 这部分是为了将速度场预测转化为噪声预测任务，使模型更容易优化。

4. $z$

   • 在时间 $t$ 上的状态变量（中间样本），描述了从噪声分布 $p_1(x)$ 到数据分布 $p_0(x)$ 的过渡路径。

7. 权重项与统一目标

为了统一分析，包括经典扩散模型在内的各种目标形式，损失函数可以进一步写成：

进一步引入时间依赖权重 $w_t$：
$${\mathcal{L}}_w(x_0)=-\frac{1}{2}{\mathbb{E}}_{t\sim \mathcal{U}(t),ϵ\sim \mathcal{N}(0,I)}\left[w_t{\lambda }_t^{\prime }\Vert {ϵ}_{\Theta }(z_t,t)-ϵ{\Vert }^2\right],$$

这是加权损失函数，用于生成模型中的流匹配优化目标，旨在通过引入时间和噪声的动态权重 $w_t$ 来改善优化路径。

参数解释

1. ${\mathcal{L}}_w(x_0)$：

   • 整体损失函数，作用是最小化模型 ${ϵ}_{\Theta }(z_t,t)$ 预测的噪声与实际噪声 $ϵ$ 之间的误差。
   • 优化目标在时间 $t$ 和噪声 $ϵ$ 的分布下进行。

2. $t\sim \mathcal{U}(t)$：

   • 时间 $t$ 的分布，假设均匀分布（$\mathcal{U}$ 表示均匀分布）。
   • 时间 $t$ 控制 $z_t$ 在数据分布和噪声分布之间的插值程度。

3. $ϵ\sim \mathcal{N}(0,I)$：

   • 噪声 $ϵ$ 的分布，假设服从零均值单位协方差的标准正态分布。
   • 用于前向过程 $z_t=a_t{x}_0+b_tϵ$ 中的噪声注入。

4. $w_t$：

   • 时间依赖的权重函数，控制优化过程中不同时间点的贡献。例如，当 $w_t=-\frac{1}{2}{\lambda }_t{b}_t^2$ 时，损失函数等价于 ${\mathcal{L}}_{CFM}$。
   • 不同的权重选择可以影响生成模型的性能和生成路径的平滑性。

5. ${\lambda }_t^{\prime }$：

   • 信噪比的时间导数，定义为：
     $${\lambda }_t^{\prime }=2\left(\frac{a_t^{\prime }}{a_t}-\frac{b_t^{\prime }}{b_t}\right),$$
     其中 $a_t,b_t$ 是控制数据和噪声分量的插值系数。
   • 信噪比导数描述了时间 $t$ 上数据与噪声的比例变化。

6. ${ϵ}_{\Theta }(z_t,t)$：

   • 模型 $\Theta$ 的输出，用于预测前向过程中加入的噪声 $ϵ$。
   • 表达式为：
     $${ϵ}_{\Theta }(z_t,t)=\frac{-2}{{\lambda }_t{b}_t}\left(v_{\Theta }(z_t,t)-\frac{a_t^{\prime }}{a_t}{z}_t\right),$$
     其中 $v_{\Theta }$ 是模型拟合的速度场。

7. $ϵ$：

   • 前向过程中实际加入的噪声。
   • 优化的目标是让 ${ϵ}_{\Theta }(z_t,t)$ 尽可能接近实际的噪声 $ϵ$。

8. $\Vert {ϵ}_{\Theta }(z_t,t)-ϵ{\Vert }^2$：

   • 预测噪声与真实噪声之间的二次误差。
   • 是损失函数的核心项，衡量预测和真实值之间的差距。

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上面的步骤是完全按照论文中的公式进行讲解的，可以照着SD3论文：Scaling Rectified Flow Transformers for High-Resolution Image Synthesis，进行详细的阅读，如果觉得难以将这些步骤串起来，可以先读懂每个公式，之后按照1 2 5 3 4 6 7 的顺序进行梳理【个人认为这个顺序好理解】，参考此文尝试再次理解。

Q&A

FM和CFM损失函数

论文中提到将FM损失函数写成CFM是为解决边缘化的难点（Flow Matching objective directly is intractable due to the marginalization）。

1. Flow Matching (FM) 的问题

• FM 的目标函数是：
  $${\mathcal{L}}_{FM}={\mathbb{E}}_{t,p_t(z)}\Vert v_{\Theta }(z,t)-u_t(z){\Vert }_2^2,$$
  其中：

  • $v_{\Theta }(z,t)$ 是神经网络预测的向量场；
  • $u_t(z)$ 是目标向量场，描述了从分布 $p_1$ 到 $p_0$ 的时间演化。

• 直接优化的困难：

  • $p_t(z)$ 是一个边际分布（边际化计算的难度，直接使用它通常不现实），表示在时间 $t$ 时的样本分布。
  • 计算 $p_t(z)$ 需要对噪声变量 $ϵ$ 积分：
    $$p_t(z)={\mathbb{E}}_{ϵ\sim \mathcal{N}(0,I)}[p_t(z\mid ϵ)].$$
    这个积分在高维数据中是非常难以解析计算的。

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2. Conditional Flow Matching (CFM) 的改进

在 FM 中，$u_t(z)$ 是一个边际向量场，其计算依赖于整个数据分布的联合信息，而在高维空间中估计这个向量场非常困难。

CFM 的解决方案：

• 定义条件向量场 $u_t(z\mid ϵ)$，它明确依赖于噪声变量 $ϵ$。
• CFM 引入了条件分布 $p_t(z\mid ϵ)$，将原本边际分布中的积分直接展开为条件概率形式，从而简化优化目标。

CFM 的目标函数是：

$${\mathcal{L}}_{CFM}={\mathbb{E}}_{t,p_t(z\mid ϵ),p(ϵ)}\Vert v_{\Theta }(z,t)-u_t(z\mid ϵ){\Vert }_2^2,$$

• 改进点：

  • 直接在条件分布 $p_t(z\mid ϵ)$ 下优化，避免了计算边际分布 $p_t(z)$ 的复杂性。
  • 条件分布 $p_t(z\mid ϵ)$ 是通过前向过程 $z_t=a_t{x}_0+b_tϵ$ 明确定义的，因此易于采样。

• 数学优势：

  • 边际化问题通过条件分布展开变得可计算。
  • 训练过程直接依赖于噪声 $ϵ$ 的采样，减少了计算复杂度。

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FM的扩散

这里改编某乎上大佬的图(来源)来描述整个扩散过程如下：

1. 前向扩散

如下图红色箭头：

样本 $z_t$ 是从数据分布 $p_0$ 到噪声分布 $p_1$ 的路径 $p_t$，路径通常是曲线，由时间 $t\in [0,1]$ 和插值参数 $a_t,b_t$ 控制的。这个过程是基于公式：
$$z_t=a_t{x}_0+b_tϵ,ϵ\sim \mathcal{N}(0,I),$$
其中 $x_0\sim p_0$，即从目标数据分布中采样的样本。

• 红色箭头表示的曲线路径确实符合 $z_t$ 的概率流从 $p_0$ 到 $p_1$ 的行为。
• “一步到位” 在这里是指，整个前向扩散路径是连续的，由 $a_t,b_t$ 的变化定义，不需要离散的逐步加噪（比如 DDPM 中的逐步噪声添加）。

补充说明
前向扩散是一个固定的物理过程，其核心目标是生成一个平滑的理论路径 $p_t(z_t)$，这个路径并不直接参与优化，而是为训练模型的向量场 $v_{\Theta }$ 提供参考。

2. 反向扩散

如下图红色箭头：

• 学到的向量场 $v_{\Theta }(z,t)$ 控制从噪声分布 $p_1$ 到数据分布 $p_0$ 的概率路径。
• 通过 ODE 反向积分，可以沿着学到的路径一步到位恢复图像。

补充：

• 反向过程并非真的“一步完成”，而是利用连续的微分方程描述路径，并通过 ODE 解算器逐步逼近生成结果。
• ODE 解算器（如 Runge-Kutta 方法）会在离散的时间步中计算积分，但相比 DDPM 的数百步去噪，FM 的反向过程所需的离散步数远少得多。

反向扩散公式为：
$$\frac{d{z}_t}{dt}=v_{\Theta }(z_t,t)$$
通过解这个 ODE，从噪声分布 $p_1$ 的样本 $z_1$ 流动到目标分布 $p_0$ 的样本 $z_0$。由于路径是连续的，生成过程非常高效。

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以上就是 Flow Matching（FM） 采样方法的全部内容，在下一节，我们将详细的讲解在 FM 基础上优化而来的 Rectified Flow（RF）采样方法。