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从SSM到S4

news 来源：原创 2025/5/26 8:12:25

参考视频：Mamba 超超超详细解说｜ 1、对 SSM 的透彻理解_哔哩哔哩_bilibili

以下内容为上述视频的学习记录，详情可看视频。

一、SSM：State Space Model

状态空间模型（State Space Model，SSM）是一种数学框架，用于描述动态系统的行为。

通过描述系统的状态变量及其动态变化规律，建模系统的状态随时间的演变以及观测数据的变化。

1.1 组成部分

状态方程（State Equation）：描述系统的内部状态如何随时间演变。
输出方程（Output Equation）：描述外部可观测的输出如何与系统状态相关联。

1.2 什么是状态State

状态是系统当前所处的条件或信息，用以确定其未来行为。

1.3 连续SSM--Continuous State Space Model

时间是连续的，状态随时间的变化用微分方程表示。

状态方程：

$\dot{x}_{{t}}=Ax(t)+Bu(t)$

$\dot{x}_{{t}}$ ：状态变量的时间导数，表示系统随时间的变化率。
$x(t)$ ：状态变量，表示系统在时刻 t 的状态。
$u(t)$ ：输入变量，表示系统的外部控制输入。
$A$ ：状态转移矩阵，描述状态随时间变化的动态关系。
$B$ ：控制矩阵，描述输入变量对状态变化的影响。

输出方程：

$y(t)=Cx(t)+Du(t)$

$y(t)$ ：输出变量，表示系统的观测值。
$C$ ：输出矩阵，描述状态对系统输出的影响。
$D$ ：直连矩阵，描述输入变量直接对输出的影响。

1.4 离散SSM--Discrete State Space Model

时间是离散的，状态随时间的变化用差分方程表示。

状态方程：

$x_{k+1}=Ax_k+Bu_k$

$x_k$ ：系统在离散时刻 k的状态。
$x_{k+1}$ ：系统在下一时刻 k+1的状态。
$u_k$ ：在时刻 k 的输入变量。
$A$ ：状态转移矩阵，描述状态从 k到 k+1 的转移关系。
$B$ ：控制矩阵。

输出方程：

$y_k=Cx_k+Du_k$

$y_k$ ：系统在时刻 k 的输出。
$C$ ：输出矩阵，描述状态对系统输出的影响。
$D$ ：直连矩阵，描述输入对输出的直接影响。

1.5 连续SSM和离散SSM的区别

1.6 SSM举例（理解系统与状态）

1.6.1 离散SSM--养鱼场例子

1.6.2 连续SSM--弹簧系统例子

1.7 SSM的离散化

1.7.1 为什么要离散化

对于连续的系统，计算机没办法处理，计算机处理数据和执行算法时通常使用离散的时间步长。离散化将连续时间系统转换为离散时间系统，使其能够在计算机上进行数值模拟和计算。
通过连续SSM 的状态方程，我们可以知道任意时刻:输入、状态、状态微分(状态对时间的导数) 的关系，但没办法根据上一时刻的状态推测下一时刻的状态。离散化后，可以将系统表示为状态的递推公式，可逐步递推系统状态。

1.7.2 离散化方法

离散化即使用方法近似公式（3）中的 $\int_{t_{k-1}}^{t_k}Ax(s)ds$

1.7.2.1 前向欧拉法

1.7.2.2 后向欧拉法

1.7.2.3 梯形法

1.7.2.4 零阶保持 Zero-Order Hold

零阶保持(Zero-Order Hold,ZOH)用于将离散时间信号转换为连续时间信号。这种方法假设输入信号在每个采样周期内保持恒定不变，即在每个采样点之后，直到下一个采样点到来之前，信号的值不再变化。

1.7.3 弹簧系统离散化代码示例

1.7.3.1 定义状态空间模型SSM

函数 example_mass(k, b, m)

def example_mass(k, b, m):
    A = np.array([[0, 1], [-k / m, -b / m]])
    B = np.array([[0], [1.0 / m]])
    C = np.array([[1.0, 0]])
    return A, B, C

输入参数：弹簧常数 k，阻尼系数 b，质量 m。
矩阵定义：
- A：状态转移矩阵，描述系统的动态性质。
- B：控制矩阵，描述输入对状态的影响。
- C：输出矩阵，描述状态如何影响输出

函数 example_force(t)

@partial(np.vectorize, signature='()->()')
def example_force(t):
    x = np.sin(10 * t)
    return x * (x > 0.5)

描述：定义一个时间函数 u(t)，该函数为正弦函数的变体，仅在 sin(10 * t) 大于 0.5 时有效。
作用：为系统提供外部输入 u(t)。

1.7.3.2 离散化

函数 discretize(A, B, C, step)

def discretize(A, B, C, step):
    I = np.eye(A.shape[0])
    BL = inv(I - (step / 2.0) * A)
    Ab = (I + (step / 2.0) * A) @ BL
    Bb = (BL @ step) @ B
    return Ab, Bb, C

输入参数：连续时间矩阵 A、B、C 和离散时间步长 step。
输出：离散时间的矩阵 Ab、Bb 和 C。
方法：使用双线性变换（梯形积分法）进行离散化，这种方法可以提高离散化的准确性。
- Ab：离散化后的状态转移矩阵。
- Bb：离散化后的控制矩阵。

1.7.3.3 运行状态空间模型

函数 run_SSM(A, B, C, u)

def run_SSM(A, B, C, u):
    L = u.shape[0]
    N = A.shape[0]
    Ab, Bb, Cb = discretize(A, B, C, step=1.0 / L)
    return scan_SSM(Ab, Bb, Cb, u[:, np.newaxis], np.zeros((N,)))[1]

输入参数：状态空间矩阵 A、B、C 和输入 u。
主要步骤：
1. 计算离散化的矩阵 Ab、Bb 和 Cb。
2. 调用函数 scan_SSM 进行递归计算，返回系统的输出。

辅助函数 scan_SSM(Ab, Bb, Cb, u, x0)

def scan_SSM(Ab, Bb, Cb, u, x0):
    def step(x_k, u_k):
        x_k = Ab @ x_k + Bb @ u_k
        y_k = Cb @ x_k
        return x_k, y_k
    
    return jax.lax.scan(step, x0, u)

描述：使用 jax.lax.scan 实现递归计算，模拟离散时间状态空间系统的动态行为。
step 函数：在每个时间步长上更新状态 x_k 和计算输出 y_k。

1.7.3.4 运行示例

def example_ssm():
    ssm = example_mass(k=40, b=5, m=1)
    # Samples of u(t)
    L = 100
    step = 1.0 / L
    ks = np.arange(L)
    u = example_force(ks * step)
    
    # Approximation of y(t)
    y = run_SSM(*ssm, u)
    
    # Plotting
    import matplotlib.pyplot as plt
    import seaborn
    from celluloid import Camera

    seaborn.set_context("paper")
    fig, (ax1, ax2, ax3) = plt.subplots(3)
    camera = Camera(fig)
    ax1.set_title("Force $u_k$")
    ax2.set_title("Position $y_k$")
    ax3.set_title("Object")
    ax1.set_xticks([], [])
    ax2.set_xticks([], [])
    ax3.set_xticks([], [])

    # Animate plot over time
    for k in range(0, L, 2):
        ax1.plot(ks[:k], u[:k], color="red")
        ax2.plot(ks[:k], y[:k], color="blue")
        ax3.boxplot(
            [[y[k], -0.04, y[k], 0], [y[k], 0, y[k], 0.04]],
            showcaps=False,
            whis=False,
            vert=False,
            widths=0.1,
        )
        camera.snap()

    anim = camera.animate()
    anim.save("images/line.gif", dpi=150, writer="imagemagick")

if __name__ == "__main__":
    example_ssm()