从零开始的数据结构教程（六） 贪心算法

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🍬 标题一：贪心核心思想——发糖果时的最优分配策略

贪心算法 (Greedy Algorithm) 是一种简单直观的算法策略。它在每一步选择中都采取在当前状态下最好或最优（即最有利）的选择，从而希望得到一个全局最优解。这就像你作为班主任发糖果，每次都想让眼前的孩子满意，希望这种局部最优能带来整体最优的效果。

三大适用条件

并非所有问题都适合用贪心算法解决，它通常需要满足以下三个条件：

1. 贪心选择性质 (Greedy Choice Property)：每一步的局部最优选择，都能导致最终的全局最优解。例如，在“硬币找零”问题中，如果硬币面额系统是“标准”的（如 1, 5, 10, 25 美分），那么每次都优先选择最大面额的硬币就能得到最少硬币数。
2. 无后效性 (Optimal Substructure)：当前的选择不会影响后续子问题的最优解，即后续问题的最优解不依赖于之前的选择，只依赖于当前状态。例如，在“区间调度”中，一旦你选择了最早结束的会议，后续会议的选择空间并不会因此受限，而是基于剩余时间继续做决策。
3. 子问题可合并 (Overlapping Subproblems)：虽然这是动态规划的特征之一，但在贪心算法中，这意味着局部解能够直接或以简单的方式构成全局解。例如，在霍夫曼编码中，每次合并两个最小频率的节点，最终能构建出最优的二叉树。

与 DP 的关键区别

贪心算法和动态规划都涉及将问题分解为子问题，但它们在解决方式上存在根本差异：

• 贪心：做选择时不考虑未来，只看当前局部最优，并且一旦做出选择就不可回退。它不需要存储所有子问题的解。
• 动态规划：会探索所有可能的局部最优解，并存储它们，通过状态转移方程来构建全局最优解。它具有“回退”机制，可以从之前的多种选择中推导出当前的最优。

# 贪心 vs 动态规划：以「硬币找零」为例
# 假设硬币面额为 [1, 5, 10, 25]，找零 30
# 贪心：25 + 5 (2枚)
# DP：10 + 10 + 10 (3枚) 或 25 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 (6枚)# 贪心（可能无法得到最优解，例如面额 [1, 15, 25], 找零 30, 贪心会是 25+1+1+1+1+1 (6枚), 最优是 15+15 (2枚)）
def coinChangeGreedy(coins, amount):coins.sort(reverse=True) # 优先使用大面额硬币count = 0for coin in coins:while amount >= coin:amount -= coincount += 1return count if amount == 0 else -1 # 如果 amount 不为 0，说明无法找零# DP（保证最优解）
def coinChangeDP(coins, amount):# dp[i] 表示凑齐金额 i 所需的最少硬币数dp = [float('inf')] * (amount + 1)dp[0] = 0 # 凑齐金额 0 需要 0 枚硬币for i in range(1, amount + 1): # 遍历所有可能的金额for coin in coins:         # 遍历所有硬币面额if i >= coin:# 如果当前金额 i 大于等于当前硬币面额 coin# 那么凑齐 i 的最少硬币数可能是：# 1. 不使用当前硬币，沿用 dp[i] (之前可能计算过)# 2. 使用当前硬币，那么剩下的金额 i - coin 需要 dp[i - coin] 枚硬币dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1)return dp[amount] if dp[amount] != float('inf') else -1 # 如果为 inf，表示无法凑齐# print(coinChangeGreedy([1, 15, 25], 30)) # 输出 6
# print(coinChangeDP([1, 15, 25], 30))     # 输出 2

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⏰ 标题二：区间调度问题——会议室的高效安排

区间调度问题是一个经典的贪心算法应用场景。

经典问题

给定若干会议的开始和结束时间 [start, end]，如何安排最多的不重叠会议，使得一个会议室可以安排尽可能多的会议？

贪心策略

按结束时间排序：优先选择最早结束的会议。为什么？因为最早结束的会议会给后续会议留出最大的时间空隙，从而使得我们有机会安排更多的会议。

import java.util.Arrays;
import java.util.Comparator; // 引入 Comparator 接口class Solution {public int maxEvents(int[][] intervals) {// Step 1: 按结束时间升序排序会议// 如果结束时间相同，则按开始时间升序排序（可选，但通常不影响结果）Arrays.sort(intervals, (a, b) -> a[1] - b[1]);int count = 0; // 记录安排的会议数量int lastEndTime = Integer.MIN_VALUE; // 记录上一个已安排会议的结束时间// Step 2: 遍历排序后的会议for (int[] meeting : intervals) {int currentStart = meeting[0];int currentEnd = meeting[1];// 如果当前会议的开始时间 >= 上一个已安排会议的结束时间// 说明当前会议可以安排，且不与之前的会议重叠if (currentStart >= lastEndTime) {count++;            // 安排该会议lastEndTime = currentEnd; // 更新上一个会议的结束时间}}return count;}
}

变形题

• 需要多间会议室时：这通常会转化为其他问题，例如“最小箭射气球”（LeetCode 452），它寻找最少数量的“箭头”能射爆所有气球（代表区间），本质上是寻找最少数量的区间来覆盖所有给定区间。
• 带权值的区间：如果每个会议有不同的“价值”或“收益”，需要最大化总收益，那么纯粹的贪心可能不再适用，通常需要结合动态规划来解决（例如“最大收益的兼职工作”）。

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🏃 标题三：跳跃游戏——从起点到终点的最少步数

跳跃游戏系列问题也是贪心算法的经典应用。

两类经典问题

1. 能否到达终点（LeetCode 55）：给定一个非负整数数组 nums，每个元素 nums[i] 代表你在位置 i 最多可以向前跳跃的长度。判断你是否能从第一个位置跳到最后一个位置。

   def canJump(nums):max_reach = 0 # 记录当前能到达的最远位置# 遍历数组，直到到达终点或无法继续前进for i in range(len(nums)):if i > max_reach: # 如果当前位置 i 已经超出了之前能到达的最远位置return False  # 说明无法到达终点# 更新能到达的最远位置：当前位置 i + 从当前位置能跳的距离 nums[i]max_reach = max(max_reach, i + nums[i])if max_reach >= len(nums) - 1: # 如果能到达或越过终点return True                # 则成功到达return True # 如果循环结束（即已经遍历完数组），说明可以到达终点
   

2. 最少跳跃次数（LeetCode 45）：给定一个非负整数数组 nums，同上，求到达最后一个位置的最少跳跃次数。

   def jump(nums):if len(nums) <= 1:return 0jumps = 0          # 跳跃次数current_end = 0    # 当前跳跃能到达的最远边界farthest = 0       # 在当前跳跃范围内，下一步能到达的最远位置for i in range(len(nums) - 1): # 遍历到倒数第二个位置，因为最后一个位置不需要再跳# 更新在当前跳跃范围内能到达的最远位置farthest = max(farthest, i + nums[i])if i == current_end: # 如果当前位置 i 达到了当前跳跃的边界jumps += 1       # 进行一次跳跃current_end = farthest # 更新下一次跳跃的边界为当前能到达的最远位置# 注意：这里不需要检查 farthest 是否能到达终点，# 因为 for 循环条件保证了最终 current_end 会达到或超过 len(nums) - 1return jumps
   

关键洞察

贪心地在每一步选择能跳最远的选项（但不是盲目地跳到最远，而是规划好下一次跳跃的边界）。

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🛒 标题四：高频面试题——分发糖果（双向贪心）

问题

在一个班级里，有 n 个孩子，他们的能力值用整数数组 ratings 表示。你需要给这些孩子分发糖果，并满足以下两个条件：

1. 每个孩子至少分到 1 颗糖果。
2. 能力值比其相邻孩子高的孩子，必须分到比相邻孩子更多的糖果。

求最少需要分发多少颗糖果。

双向遍历策略

这个问题不能简单地从左到右或从右到左遍历一次，因为它有双向的依赖关系。需要进行双向贪心：

1. 从左到右遍历：确保右边的孩子比左边高的，能获得更多糖果。
2. 从右到左遍历：确保左边的孩子比右边高的，能获得更多糖果。
3. 取两者最大值：最终每个孩子分到的糖果数，是两次遍历结果的最大值。

def candy(ratings):n = len(ratings)# left 数组：从左到右遍历，保证 ratings[i] > ratings[i-1] 时，left[i] > left[i-1]left = [1] * n # 初始化每个孩子至少1颗糖for i in range(1, n):if ratings[i] > ratings[i - 1]:left[i] = left[i - 1] + 1# right 变量：从右到左遍历，保证 ratings[i] > ratings[i+1] 时，当前孩子获得更多糖# total：总糖果数，先加上 left 数组的最后一个元素right = 1total = left[n - 1] # 最后一个孩子的糖果数，至少是 left[n-1]for i in range(n - 2, -1, -1): # 从倒数第二个孩子开始，向左遍历if ratings[i] > ratings[i + 1]:right += 1 # 如果当前孩子比右边高，right 增加else:right = 1  # 否则，重置 right 为 1 (因为右边孩子可能比自己高或相等)# 当前孩子实际获得的糖果数，是 left[i] 和 right 两者中的最大值# 这样才能同时满足左右两个方向的条件total += max(left[i], right)return total

• 时间复杂度：$O(n)$，因为进行了两次线性遍历。
• 空间复杂度：$O(n)$，因为使用了 left 数组。可以进一步优化到 $O(1)$ 空间，但代码会更复杂。

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📊 总结表：贪心算法适用场景

问题类型	典型例题	贪心策略
区间问题	无重叠区间（LeetCode 435）	按结束时间排序，优先选择最早结束的。
分配问题	分发糖果（LeetCode 135）	双向遍历（从左到右，从右到左）满足约束。
跳跃问题	跳跃游戏 II（LeetCode 45）	维护当前能到达的最远位置，并在必要时进行跳跃。
字符串构造	重构字符串（LeetCode 767）	优先使用剩余最多的字符，避免连续。
硬币/货币	硬币找零（标准面额系统）	优先使用最大面额的硬币。

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