二重积分 面积微元 微小矩形 dxdy 微小扇形 r * drdθ
🌐 二重积分计算方法详解
✅ 1. 直角坐标系下的二重积分计算 （dxdy 微小矩形）
设函数 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 在区域 D D D 上连续，区域 D D D 的边界由曲线或直线组成。
优先对 确定数量（小于等于两个）的 上下限积分，
最后对固定的上下限 进行积分。
🧮 (1) 积分区域的描述
🔹 X 型区域
1. 固定 x x x，对 y y y 从下边界 ϕ 1 ( x ) \phi_1(x) ϕ1(x) 积到上边界 ϕ 2 ( x ) \phi_2(x) ϕ2(x)，得关于 x x x 的函数；
2. 再对 x x x 在 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上积分。
🔹 Y 型区域
先固定 y y y 对 x x x 积分，再对 y y y 积分。
✅ 2. 极坐标系下的二重积分 （ r d r d θ r \, drd\theta rdrdθ 微小扇形）
当积分区域为圆形、扇形等对称区域时，使用极坐标能显著简化计算。
设：
x = r cos θ , y = r sin θ , d x d y = r d r d θ x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dxdy = r\,drd\theta x=rcosθ,y=rsinθ,dxdy=rdrdθ
🧮 (1) 公式推导
若区域 D D D 表示为：
α ≤ θ ≤ β , r 1 ( θ ) ≤ r ≤ r 2 ( θ ) \alpha \leq \theta \leq \beta,\quad r_1(\theta) \leq r \leq r_2(\theta) α≤θ≤β,r1(θ)≤r≤r2(θ)
则二重积分转换为：
∬ D f ( x , y ) d x d y = ∫ α β ( ∫ r 1 ( θ ) r 2 ( θ ) f ( r cos θ , r sin θ ) ⋅ r d r ) d θ \iint_D f(x, y) \, dxdy = \int_\alpha^\beta \left( \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r\cos\theta, r\sin\theta) \cdot r \, dr \right) d\theta ∬Df(x,y)dxdy=∫αβ(∫r1(θ)r2(θ)f(rcosθ,rsinθ)⋅rdr)dθ
推导依据：
由雅可比行列式（Jacobian）得面积微元替换为 r d r d θ r \, drd\theta rdrdθ。
📚 关键总结
| 关键点 | 说明 |
|---|---|
| 📐 积分顺序 | 根据区域形状选择 X 型或 Y 型 |
| 📏 边界表达 | 明确上下/左右边界函数的形式 |
| 🔁 利用对称性 | 如函数奇偶性、区域对称性可简化计算 |
| 🌀 坐标系转换 | 对圆形或扇形区域，优先使用极坐标求解 |
| 🔄 变量替换 | 利用变量替换简化复杂函数或不规则区域的积分 |