勾股数的性质和应用

勾股数的定义，性质和转化（定义1，注解1-注解3）

定义1

能够作直角三角形三条边的边长的三个正整数，成为一组勾股数，勾股数也称商高数或毕达哥拉斯三元组。

注解1

1. 常见的勾股数：$3,4,5;5,12,13;8,15,17;$
2. 勾股数有无穷多组，例如$3n,4n,5n,n\in {\mathbb{Z}}_{+}$

注解2

三元数构成勾股数当且仅当它是三元二次不定方程$x^2+y^2=z^2$的正整数解。

命题1

$b\mid a$当且仅当$b^2\mid a^2$

下面来证一下

$b\mid a,b\mid a\Rightarrow b^2\mid a^2$

这个来源于$b\mid a,d\mid c\Rightarrow bd\mid ac$

$b^2\mid a^2\Rightarrow a^2=b^{2}q\Rightarrow a=\pm b\sqrt{q}=b(\pm \sqrt{q})\Rightarrow b\mid a$

这里的$q$是一个完全平方数，否则$a$不是整数

证毕。

注解3

研究不定方程$x^2+y^2=z^2$的整数解$(x_0,y_0,z_0)$的三个假定：

1. $x_0>0,y_0>0,z_0>0$
2. $(x_0,y_0)=1$
3. $x_0,y_0$中一个是奇数，另一个是偶数。

命题2

1. 若$(a,b)=1,$则$(a^2,b)=1;$
2. 若$(a,b)=1$,则$(a^2,b^2)=1$

之前讲过一个定理

设$a,b,c\in \mathbb{Z}$且$(a,c)=1$,则：

1. $ab,c$与$b,c$有相同的公约数;
2. $(ab,c)=(b,c)$

这里$b,c$中至少有一个不为零。

证明如下

$(a^2,b)=(a\cdot a,b)=(a,b)=1$

$(a^2,b^2)=(a^2,b\cdot b)=(a^2,b)=1$

定义2

能被$2$整除的数称为偶数，反之则为奇数，既是奇数又是素数的数称为奇素数，既是偶数又是素数的数称为偶素数。

偶素数只有一个$2$.

注解3

1. 一般偶数可以设为$2n,n\in \mathbb{Z},$奇数可以设为$2n-1$或$2n+1(n\in \mathbb{Z})$
2. 奇素数必定是正整数，偶素数只有一个$2$

命题3

1. 两个奇数的和或差必定是偶数（奇$\pm$奇=偶）
2. 一个奇数和一个偶数的和或差必定是奇数（奇$\pm$偶=奇）
3. 两个整数如果至少有一个是偶数，则它们的乘积必定是偶数（偶$\times$偶=偶，偶$\times$奇=偶）
4. 两个奇数的乘积必定是奇数（奇$\times$奇=奇）
5. 奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数

这个结果其实小学生也知道，只是再复习一下。

上面的这些铺垫呢主要是为接下来的引理1和定理1做准备。

不定方程$x^2+y^2=z^2$的解（引理1，定理1）

引理1

不定方程

$$uv=w^2,w>0,u>0,v>0,(u,v)=1(2)$$

的一切正整数解可以写成公式

$u=a^2,v=b^2,w=ab,a>0,b>0,(a,b)=1(3)$

解很好验证，带进去根据前面的命题2即可证。

下面来证$(2)$式的整数解都是$(3)$的形式

设$(u_0,v_0,w_0)$是$(2)$式的一个整数解，且$u_0>0,v_0>0,w_0>0,(u_0,v_0)=1$下面来分类讨论

1. 当$u_0=v_0=1,w_0=1$这显然是成立的

2. 当$u_0,v_0$中恰有一个为$1$，另一个不为$1$时,不妨设$u_0=1,v_0\ne 1>1$,

   我们令$a=1,b=\sqrt{v_0},$则带入也是成立的

3. 二者均不为1时，我们分情况讨论

   • 如果$u_0,v_0$都是素数则$(u_0,v_0)=1,u_0\ne v_0$从而$w_0^2=u_0{v}_0$ 显然两个不相等素数的乘积不可能等于某个数的平方，矛盾

   • 设$u_0$为素数，$v_0$为合数。 我们令$v_0=p_1^{s_1}{p}_2^{s_2}\dots p_n^{s_n}$若$u_0=p_i$（就是说$u_0$等于某一个$p_i$）则$(u_0,v_0)\ne 1$矛盾 从而$u_0\ne p_i$（即$u_0$不等于任意一个$p_i$）也就是$w_0=u_0{p}_1^{s_1}{p}_2^{s_2}\dots p_n^{s_n}$是一个矛盾式，不可能凑出一个平方数

   • 二者均为合数时，不妨设$u_0=p_1^{s_1}{p}_2^{s_2}\dots p_n^{s_n},v_0=q_1^{t_1}{q}_2^{t_2}\dots q_n^{t_m}$因为$(u_0,v_0)=1,$则$p_i\ne q_j$，这说明了$s_1,s_2,\dots ,s_n,t_1,t_2,\dots ,t_m$每一个都是偶数，这样才能搞出来平方

     我们可以令$s_i=2s_i^{\prime },t_j=2t_j^{\prime }$则有

     $u_0=(p_1^{s_1^{\prime }}{p}_2^{s_2^{\prime }}\dots p_n^{s_n^{\prime }}{)}^2=a$

     $v_0=(p_1^{t_1^{\prime }}{p}_2^{t_2^{\prime }}\dots p_n^{t_m^{\prime }}{)}^2=b$

     $w_0=ab>0$是可以写成一个完全平方式的 此时$(u_0,v_0,w_0)$是满足那个表达式的。

定理1

不定方程$x^2+y^2=z^2$适合条件

$$x>0,y>0,z>0,(x,y)=1,2\mid x$$

的一切正整数解可以由下列公式表示出来

$$x=2ab,y=a^2-b^2,z=a^2+b^2,a>b>0,(a,b)=1,a,b一奇一偶$$

利用这个我们就可以画一个表格了 很容易找出很多勾股数

a	b	y	x	z
2	1	3	4	15
3	2	5	12	13
4	1	15	8	17
4	3	7	24	25
…	…	…	…	…

我们还可以把条件放宽，见推论1

不定方程$x^2+y^2=z^2$的应用（推论1）

推论1

不定方程$x^2+y^2=z^2$的所有整数解为

$$(\pm 2abt,\pm (a^2-b^2)t,\pm (a^2+b^2)t)$$ 其中$t\in {\mathbb{Z}}_{+}$

这个说的是，我们找到了一组勾股数，那它们的倍数也是勾股数

推论2

单位圆周上的一切有理点可以表示成

$(\pm \frac{2ab}{a^2+b^2},\pm \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2})$及$(\pm \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2},\pm \frac{2ab}{a^2+b^2})$

其中$a,b$不为零，$\pm$可以任取

证明很easy的~

我们令$x=\frac{q_1}{p_1},y=\frac{q_2}{p_2}$

带入得$\frac{q_1^2}{p_1^2}+\frac{q_2^2}{p_2^2}=1$

也就是$(q_1{p}_2{)}^2+(q_2{p}_1{)}^2=(p_1{p}_2{)}^2$

我们令$x^{\prime }=q1p2,y^{\prime }=q_2{p}_1,z^{\prime }=p_1{p}_2$

于是$x^{\prime 2}+y^{\prime 2}=z^{\prime 2}$

利用推论1

$x^{\prime }=\pm 2abt,y^{\prime }=\pm (a^2-b^2)t,z^{\prime }=\pm (a^2+b^2)t$

利用这三个式子可到上式。