[cg][ds] 八面体映射编码Normal

UE 中的Normal 是通过UnitVectorToOctahedron将xyz，编码进二维xy中的,代码如下

OutGBufferA.rg = UnitVectorToOctahedron( normalize(GBuffer.WorldNormal) ) * 0.5f + 0.5f;float2 UnitVectorToOctahedron( float3 N )
{N.xy /= dot( 1, abs(N) );if( N.z <= 0 ){N.xy = ( 1 - abs(N.yx) ) * select( N.xy >= 0, float2(1,1), float2(-1,-1) );}return N.xy;
}

函数 float2 UnitVectorToOctahedron(float3 N) 的几何意义是将 单位球面（unit sphere）上的向量 映射到 二维平面上的八面体贴图（octahedral mapping）坐标。这种映射通常用于环境贴图（如天空盒）或压缩单位向量到 2D。

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一、背景与动机

单位向量（即 $\Vert N\Vert =1$）表示球面上的一点。为了节省空间（比如存储在纹理中），我们希望将这个三维方向压缩成二维表示。Octahedral Mapping 是一种将单位球面映射到二维平面的一种高效方法，相较于球坐标和立方体贴图更均匀、无死角。

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二、函数逐步解析

float2 UnitVectorToOctahedron(float3 N)
{N.xy /= dot(1, abs(N));

• 将向量 $N$ 的 xy 分量进行归一化，使得 $|N.x|+|N.y|+|N.z|=1$，这是八面体映射的核心。
• dot(1, abs(N)) 表示 $|N.x|+|N.y|+|N.z|$。
• 得到的 N.xy 是初步映射到 2D 的坐标。

    if (N.z <= 0){N.xy = (1 - abs(N.yx)) * select(N.xy >= 0, float2(1,1), float2(-1,-1));}

• 八面体映射将下半球（$N.z\le 0$）翻折映射到上半球的对应区域，以实现无缝 2D 映射。

• N.yx 是 N.xy 的交换，用于镜像处理。

• select 是条件选择器（伪代码风格），表示：

  • 如果 N.xy >= 0，则使用 float2(1, 1)
  • 否则使用 float2(-1, -1)

• 这样可以确保下半球的方向也能映射到 2D 空间中。

    return N.xy;
}

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三、几何意义总结

• 输入：单位向量 $\vec{N}\in S^2$（球面上的一点）

• 输出：2D 平面坐标 $\vec{v}\in [-1,1{]}^2$，表示该方向在八面体展开中的位置

• 映射结构：

  • 单位球体 → 八面体 → 展开成正方形平面
  • 映射是连续且几乎均匀的（适合 GPU 中的纹理存储）

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四、可视化帮助

想象一个单位球体被一个八面体包住，然后将八面体沿其边缘展平在二维平面中。这个函数就是计算球面上任意一点在展开后的平面图中的位置。

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