[leetcode] 动态规划 - 最大子数组和
最大子数组和系列题目的核心算法是Kadane算法：定义状态f[i]表示以a[i]结尾的最大子数组和，不和i左边拼起来就是f[i] = a[i]，和i左边拼起来就是f[i] = f[i-1] + a[i]，取最大值就得到了状态转移方程f[i] = max(f[i-1], 0) + a[i]，答案为max(f)。
子数组非空
53. 最大子数组和 [Medium]
1186. 删除一次得到子数组最大和 [Medium]
918. 环形子数组的最大和 [Medium]
# 53. 最大子数组和
class Solution:
def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
n=len(nums)
# 子数组非空
f=[nums[0]]+[0]*(n-1)
# 子数组可以为空：
# f=[0]*n
for i in range(1,n):
f[i]=max(f[i-1],0)+nums[i]
return max(f)
最大子数组和系列主要有两类，子数组可以为空和子数组非空。如果子数组非空，那么f数组初始化为f=[nums[0]]+[0]*(n-1)，如果优化空间，不定义数组，那么ans必须初始化为-inf：
class Solution:
def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
# 子数组非空
ans, f = -inf, 0
# 子数组可以为空
# ans = f = 0
for x in nums:
f = max(f, 0) + x
ans = max(ans, f)
return ans
# 1186. 删除一次得到子数组最大和
class Solution:
def maximumSum(self, arr: List[int]) -> int:
f=[[-inf,-inf]]+[[0,0] for _ in arr]
for i,x in enumerate(arr):
f[i+1][0]=max(f[i][0],0)+x
f[i+1][1]=max(f[i][1]+x,f[i][0])
return max(max(r) for r in f)
这题涉及到枚举每个元素时删或不删，有点类似状态机DP。同样地，子数组非空，所以f初始状态为-inf。
# 918. 环形子数组的最大和
class Solution:
def maxSubarraySumCircular(self, nums: List[int]) -> int:
fmax,ansMax,fmin,ansMin=0,-inf,0,0
for x in nums:
fmax=max(fmax,0)+x
ansMax=max(ansMax,fmax)
fmin=min(fmin,0)+x
ansMin=min(ansMin,fmin)
# ansMax<0表示nums中元素全负，返回负值最小的
return max(ansMax,sum(nums)-ansMin) if ansMax>0 else ansMax
这题要同时求求最大子数组和和最小子数组和。
子数组可以为空
2606. 找到最大开销的子字符串 [Medium]
1749. 任意子数组和的绝对值的最大值 [Medium]
1191. K 次串联后最大子数组之和 [Medium]
2321. 拼接数组的最大分数 [Hard]
# 2606. 找到最大开销的子字符串
class Solution:
def maximumCostSubstring(self, s: str, chars: str, vals: List[int]) -> int:
value_dict = dict(zip(chars, vals))
# 子数组可以为空
f=[0]*(len(s)+1)
for i,c in enumerate(s):
f[i+1] = max(f[i],0) + value_dict.get(c, ord(c)-ord('a')+1)
# 优化空间
# ans = f = 0
# for c in enumerate(s):
# f = max(f,0) + value_dict.get(c, ord(c)-ord('a')+1)
# ans = max(ans, f)
# return ans
return max(f)
这道题就是子数组可以为空，所以f数组初始化为 f = [0]*(len(s)+1)
# 1749. 任意子数组和的绝对值的最大值
class Solution:
def maxAbsoluteSum(self, nums: List[int]) -> int:
ans = fmax = fmin = 0
for x in nums:
fmax = max(fmax, 0) + x
fmin = min(fmin, 0) + x
ans = max(ans, fmax, -fmin)
return ans
这题是求绝对值的最大值，所以要算最大子数组和和最小子数组和，最后取两者的最大值。
# 1191. K 次串联后最大子数组之和
MOD=10**9+7
class Solution:
# kadane算法, 用于求解最大子数组和
def kadane(self,nums:List[int])->int:
ans=f=0
for x in nums:
f=max(f,0)+x
ans=max(ans,f)
return ans
def kConcatenationMaxSum(self, arr: List[int], k: int) -> int:
if k==1:
return self.kadane(arr)
twoMax=self.kadane(arr*2)
if sum(arr)<0:
return twoMax%MOD
else:
return (twoMax+sum(arr)*(k-2))%MOD
子数组可以为空，ans初始化为0。
# 2321. 拼接数组的最大分数
class Solution:
def kadane(self,nums1,nums2):
ans=f=0
for x,y in zip(nums1,nums2):
f=max(f,0)+y-x
ans=max(ans,f)
return sum(nums1)+ans
def maximumsSplicedArray(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> int:
return max(self.kadane(nums1,nums2),self.kadane(nums2,nums1))
拓展 - 乘积最大子数组
152. 乘积最大子数组 [Medium]
2708. 一个小组的最大实力值 [Medium]
# 152. 乘积最大子数组
class Solution:
def maxProduct(self, nums: List[int]) -> int:
ans=-inf
fmax=fmin=1
for x in nums:
#fmin=min(fmax*x,fmin*x,x)
#fmax和fmin必须写在同一表达式同时更新，分开先后更新的话，后更新的就会使用新的值，导致错误
fmax,fmin=max(fmax*x,fmin*x,x),min(fmax*x,fmin*x,x)
ans=max(ans,fmax)
return ans
乘积也是需要求最大乘积子数组和最小乘积子数组，因为负负得正，最小乘积子数组也可能变成最大乘积子数组。
# 2708. 一个小组的最大实力值
class Solution:
def maxStrength(self, nums: List[int]) -> int:
# 子数组非空
mx=mn=nums[0]
for x in nums[1:]:
mx,mn=max(mx,mx*x,mn*x,x),min(mn,mx*x,mn*x,x)
return mx
以上整理自leetcode灵神题单：动态规划之 1.3 最大子数组和