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四元数如何用于 3D 旋转（代替欧拉角和旋转矩阵）【ESP32指向鼠标】

news 来源：原创 2025/5/15 3:33:19

四元数如何用于 3D 旋转（代替欧拉角和旋转矩阵）

在三维空间中，物体的旋转可以用 欧拉角、旋转矩阵或四元数 来表示。
四元数相比于欧拉角和旋转矩阵有 计算更高效、避免万向锁、存储占用少 等优点，因此广泛用于游戏开发、机器人学、计算机图形学和航空航天等领域。

四元数的定义

一个四元数 q 由四个实数组成：
$q = w + x i + y j + z k$
其中：w,x,y,z 是实数；i,j,k 是虚单位，满足特定的乘法规则

旋转的基本表示方式

方式	表示方法	优缺点
欧拉角（Euler Angles）	(α,β,γ) 对应绕 X, Y, Z 轴的旋转	优点：直观易理解，和现实生活的旋转方式类似。缺点：存在万向锁（Gimbal Lock）问题，计算复杂。
旋转矩阵（Rotation Matrix）	3×3 矩阵	优点：适用于线性代数计算，方便复合旋转。缺点：需要存储 9 个值，数值误差累积会导致非正交性。
四元数（Quaternion）	q=w+xi+yj+zk	优点：旋转计算简单，存储更紧凑（只需要 4 个数），避免万向锁，插值平滑。缺点：不直观，不容易手动调整。

旋转四元数的定义

一个旋转四元数q 表示围绕单位向量 (x,y,z) 旋转角度 θ 的旋转：
$q=\cos\frac{\theta}{2}+\sin\frac{\theta}{2}(x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k})$
或写成向量形式：
$q=\left(\cos\frac{\theta}{2},x\sin\frac{\theta}{2},y\sin\frac{\theta}{2},z\sin\frac{\theta}{2}\right)$
其中：θ 是旋转角度
(x,y,z) 是旋转轴（必须是单位向量）
(xi,yj,zk) 是四元数的虚部，表示旋转方向
注意：旋转四元数必须是单位四元数，即满足：
$|q|=\sqrt{w^2+x^2+y^2+z^2}=1$

使用四元数进行 3D 旋转

假设有一个点 $\mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z)$ ，我们想用四元数 q 旋转它。方法如下：

将点转换为纯四元数（虚部存储向量坐标）
$p=(0,v_x,v_y,v_z)$
计算旋转后的点
$p^{\prime}=qpq^{-1}$
其中： $q^{-1}$ 是四元数的逆（单位四元数的逆就是它的共轭）
旋转后的点 $p^{\prime}$ 也是一个纯四元数，其中的虚部给出新坐标。
单位四元数的逆
$q^{-1}=q^*=(\cos\frac{\theta}{2},-x\sin\frac{\theta}{2},-y\sin\frac{\theta}{2},-z\sin\frac{\theta}{2})$

例程（C语言）

旋转 (1, 0, 0) 向量绕 Y 轴旋转 90°。
计算后，结果应该接近 (0, 0, -1)，即 X 轴向量变成 Z 轴负方向。

#include <stdio.h>
#include <math.h>

// 定义四元数结构体
typedef struct {
    double w, x, y, z;
} Quaternion;

// 定义向量结构体
typedef struct {
    double x, y, z;
} Vector3;

// 归一化四元数（单位四元数）
Quaternion normalize(Quaternion q) {
    double magnitude = sqrt(q.w * q.w + q.x * q.x + q.y * q.y + q.z * q.z);
    q.w /= magnitude;
    q.x /= magnitude;
    q.y /= magnitude;
    q.z /= magnitude;
    return q;
}

// 计算四元数的共轭
Quaternion conjugate(Quaternion q) {
    Quaternion conj = {q.w, -q.x, -q.y, -q.z};
    return conj;
}

// 计算两个四元数的乘法
Quaternion multiply(Quaternion q1, Quaternion q2) {
    Quaternion result;
    result.w = q1.w * q2.w - q1.x * q2.x - q1.y * q2.y - q1.z * q2.z;
    result.x = q1.w * q2.x + q1.x * q2.w + q1.y * q2.z - q1.z * q2.y;
    result.y = q1.w * q2.y - q1.x * q2.z + q1.y * q2.w + q1.z * q2.x;
    result.z = q1.w * q2.z + q1.x * q2.y - q1.y * q2.x + q1.z * q2.w;
    return result;
}

// 旋转向量 v 使用四元数 q
Vector3 rotate_vector(Vector3 v, Quaternion q) {
    Quaternion p = {0, v.x, v.y, v.z}; // 将向量转换为纯四元数
    Quaternion q_conj = conjugate(q);  // 计算四元数共轭

    // 计算旋转后的四元数 p' = q * p * q^(-1)
    Quaternion temp = multiply(q, p);
    Quaternion rotated = multiply(temp, q_conj);

    // 结果的虚部即为旋转后的向量
    Vector3 result = {rotated.x, rotated.y, rotated.z};
    return result;
}

// 生成绕 (ux, uy, uz) 轴旋转 theta 角度的四元数
Quaternion from_axis_angle(double ux, double uy, double uz, double theta) {
    Quaternion q;
    double half_theta = theta * M_PI / 360.0; // 角度转弧度并除以 2
    double sin_half_theta = sin(half_theta);

    q.w = cos(half_theta);
    q.x = ux * sin_half_theta;
    q.y = uy * sin_half_theta;
    q.z = uz * sin_half_theta;

    return normalize(q);
}

int main() {
    // 定义一个向量 (1, 0, 0)
    Vector3 v = {1, 0, 0};

    // 绕 Y 轴旋转 90 度的四元数
    Quaternion q = from_axis_angle(0, 1, 0, 90);

    // 旋转向量
    Vector3 rotated_v = rotate_vector(v, q);

    // 输出旋转后的结果
    printf("旋转后向量: (%f, %f, %f)\n", rotated_v.x, rotated_v.y, rotated_v.z);

    return 0;
}