欧拉计划 Project Euler 73（分数有范围计数）题解

题干

分数有范围计数

考虑形如$\frac{n}{d}$的分数，其中$n$和$d$均为正整数。如果$n<d$且其最大公约数为1，则称该分数为最简真分数。
将所有$d\le 8$的最简真分数构成的集合按大小升序排列：
$$\frac{1}{8},\frac{1}{7},\frac{1}{6},\frac{1}{5},\frac{1}{4},\frac{2}{7},\frac{1}{3},\frac{3}{8},\frac{2}{5},\frac{3}{7},\frac{1}{2},\frac{4}{7},\frac{3}{5},\frac{5}{8},\frac{2}{3},\frac{5}{7},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\frac{5}{6},\frac{6}{7},\frac{7}{8}$$
可以看出在$\frac{1}{3}$和$\frac{1}{2}$之间有$3$个数。
将$d\le 12000$的最简真分数构成的集合中排序后，在$\frac{1}{3}$和$\frac{1}{2}$之间有多少个分数？

思路

这个题按照范围来说是可以暴力解决的，还有莫反也可以解决，这涉及到Farey序列，也可以用Stern-Brocot树解决。这里给出暴力的解法。

code

 // 7295372
#include <bits/stdc++.h>using namespace std;using ll = long long;// 这段 lambda 内部的代码会在 main() 调用之前被执行。
int __OI_INIT__ = []() {ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);cout.tie(0);cout << fixed << setprecision(12); // 设置输出浮点数默认精度为 12 位。return 0;
}();// 用法
/*int a = 1;double k = 2.0;string s = "hello world";_(a, k, s);输出 --->1 2.000000000000 hello world
*/
template<class... Args> void _(Args... args) {auto _ = [&](auto x) { cout << x << " "; };cout << "--->";int arr[] = {(_(args), 0)...};cout << "\n";
}void solve() {ll li = 12000;ll cnt = 0;for (int d = 1; d <= li; ++d) {int kmin = d / 3 + 1; // 分子下限int kmax = (d - 1) / 2;if (kmin > kmax) continue;for (int k = kmin; k <= kmax; ++k) {if (__gcd(k, d) == 1) {cnt++;}}}cout << cnt << "\n";
}int main() {int tt = 1;// cin >> tt;while (tt--) {solve();}}