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【Getting Started】-时间复杂度-Time Complexity

news 来源：原创 2025/5/10 10:05:16

文章目录

时间复杂度计算-Complexity Calculations
常见的复杂度和限制-Common Complexities and Constraints
问题集-Quiz

计算算法执行的操作次数。
Measuring the number of operations an algorithm performs.

在编程竞赛中，程序需要在限定时间内运行才能获得评分。例如，对于 USACO，C++ 提交的时间限制是 $2$ 秒，Java/Python 提交的时间限制是 $4$ 秒。对评分服务器每秒能处理的操作数量的保守估计是 $10^8$ ，但如果常数因子较好，实际值可能接近 $5*10^8$

资料-resources

3 - Algorithm Analysis
2 - Time Complexity
5 - Time Complexity

时间复杂度计算-Complexity Calculations

我们需要一种方法来计算运行每个算法所需的操作次数，这个次数是输入大小 $n$ 的函数。

幸运的是，这可以通过大 $O$ 表示法轻松完成，它将最坏情况下的时间复杂度表示为输入大小 $n$ 的函数，并且随着 $n$ 趋向无穷大。复杂度是算法所需步骤的上界。

使用大 $O$ 表示法，我们将一个函数的复杂度表示为 $O (f (n))$ ，其中常数因子和低阶项通常被省略。

以下代码的时间复杂度为 $O (1)$ ，因为它执行的操作数是固定的。

int a = 5;
int b = 7;
int c = 4;
int d = a + b + c + 153;

输入和输出操作也被假定为 $O (1)$ 。在以下示例中，我们假设循环内的代码是 $O (1)$ 。

循环的时间复杂度取决于循环的迭代次数。例如，以下代码示例的时间复杂度都是 $O (n)$ 。

for (int i = 1; i <= n; i++) {
	// constant time code here
}

int i = 0;
while (i < n) {
	// constant time code here
	i++;
}

计算时间复杂度，通常忽视常数因子阶和低阶项，所以以下代码的时间复杂度也为 $O (n)$

for (int i = 1; i <= 5 * n + 17; i++) {
	// constant time code here
}

for (int i = 1; i <= n + 457737; i++) {
	// constant time code here
}

通过将每个循环的时间复杂度相乘来找到多个循环的时间复杂度，以下代码的时间复杂度为 $O (n * m)$

for (int i = 1; i <= n; i++) {
	for (int j = 1; j <= m; j++) {
		// constant time code here
	}
}

一个算法包含多个块，时间复杂度为所有块中最差的时间复杂度，以下代码的时间复杂度为 $O(n^2)$

for (int i = 1; i <= n; i++) {
	for (int j = 1; j <= n; j++) {
		// constant time code here
	}
}
for (int i = 1; i <= n + 58834; i++) {
	// more constant time code here
}

以下代码的时间复杂度为 $O(n^2+m)$ 【彼此都不互为低阶项】

for (int i = 1; i <= n; i++) {
	for (int j = 1; j <= n; j++) {
		// constant time code here
	}
}
for (int i = 1; i <= m; i++) {
	// more constant time code here
}

常见的复杂度和限制-Common Complexities and Constraints

计算答案的数学公式 - $O (1)$
二分查找 - $O (l o g n)$
Sorted set/map/priority - $O (l o g n)$
整数进行质因数分解、检查是否为素数 - $O(\sqrt{n})$
快速、归并排序 - $O (n * l o g n)$
读入/遍历数组 - $O (n)$
迭代所有大小为 k 的子集 - $O(n^k)$
迭代所有的子集 - $O(2^n)$
全排列 - $O (n!)$

n	时间复杂度
$\leq 10$	$O(n!)、O(n^7)、O(n^6)$
$\leq 20$	$O(2^n * n)、O(n^5)$
$\leq 80$	$O(n^4)$
$\leq 400$	$O(n^3)$
$\leq 7500$	$O(n^2)$
$\leq 7*10^4$	$\sqrt{n})$
$\leq 5 * 10^5$	$O (n l o g n)$
$\leq 5*10^6$	$O (n)$
$\leq 10^{18}$	$O(log^2n)、O(logn)、O(1)$