算法中的数学：算术基本定理

1.定义

任何一个大于1的自然数都可以用有限个质数的乘积表示

2.分解质因数

分解质因数就是将一个合数分解为多个质数的乘积

我们可以使用试除法来计算出结果，且由于一个合数一定不会有两个大于根号n的因子，所以我们的试除法就是遍历2到根号n的数，然后一个数能除尽就先让该数除尽再遍历下一个数去除（这样可以保证进入除法的都是质数），最后的因数若大于1，说明它就是大于根号n的因数，我们再特别判断一下即可

代码实现：
 

int cou[N];
void deprime(int x)
{for(int i = 2; i <= x/i; i++){int count = 0;while(x%i == 0){x/=i;count++;}cou[i]+=count;}if(x > 1){cou[x]++;}
}

3.例题讲解

 

审题：

本题需要我们求出N！的分解质因数结果

思路：
方法一：对阶乘的每个数分解质因数

由于先求N！会导致计算超时以及数据量过大无法保存，所以我们不对N求阶乘，而是将它的阶乘的每个数分别求质因数，最后再把总的次数相加即可。

eg：求5！的分解质因数

我们可以看成2*3*4*5，分别对这四个数分解质因数，然后将分解出来的次数累加即可，比如对于2有一个质因数2，对于4有两个质因数2，所以总共质数2出现的次数就是3.

时间复杂度：O（n*根号n），因为遍历每一个阶乘的数需要n次，而每一个数进行分解质因数又需要根号n次，而题目中N的数据范围是1e6，所以总共执行次数就为1e9，会超时
方法二：正难则反

我们可以先求出1~n的所有质数，然后去判断每个质数出现的次数

而n中的质数个数为：n/logn。判断每个质数出现的次数近似需要判断logn次，所以时间复杂度为O（n）

判断每个质数出现的次数的方法：

假设当前质数为x
用n/x即可得知x的一次方出现的次数a

用n/x^2即可得知x的平方出现的次数b

......

最后我们把a，b...都加起来就得到了质数x的总共出现次数

图示：

其实就相当于一层一层的获取质数，每次叠加一倍就是从更高次的数中获取质数出现次数

解题：
方法二

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e6 + 10;
int n,cnt;
int p[N];//存储1~n的质数
bool f[N];//判断质数
int a[N];//记录素数出现次数
void getprime()//线性筛
{for (ll i = 2; i <= n; i++){if (!f[i]) p[++cnt] = i;for (ll j = 1; i * p[j] <= n; j++){f[i * p[j]] = true;if (i % p[j] == 0) break;}}
}
int main()
{cin >> n;getprime();for (ll i = 1; i <= cnt; i++){ll sum = 0;for (ll j = p[i]; j <= n; j *= p[i]){sum += n / j;}a[p[i]] += sum;}for (ll i = 1; i <= cnt; i++){cout << p[i] << " " << a[p[i]] << endl;}return 0;
}

1.1~n的质数筛选我们使用线性筛，时间复杂度为O(n)

2.数据类型使用longlong是为了防止数据计算的时候有溢出，导致整型数据存不下