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二叉树进阶：平衡二叉树、完全二叉树、满二叉树详解

news 来源：原创 2025/5/15 8:24:24

在上一篇博客中，我们介绍了二叉树的基本概念、遍历方式以及常见操作。本篇将深入探讨二叉树的几种特殊类型：平衡二叉树、完全二叉树和满二叉树，并通过Java代码示例帮助大家更好地理解这些概念。

1. 满二叉树 (Full Binary Tree)

定义
满二叉树是指一棵二叉树中，**每个节点都有0个或2个子节点**。换句话说，除了叶子节点外，每个节点都有两个子节点。

特点
- 叶子节点只能出现在最底层。
- 非叶子节点的度（子节点数）必须为2。
- 如果树的高度为`h`，则节点总数为 `2^h - 1`。

示例

这是一棵高度为3的满二叉树，节点总数为 `2^3 - 1 = 7`。

Java代码：判断满二叉树


public boolean isFullBinaryTree(TreeNode root) {
    if (root == null) {
        return true; // 空树是满二叉树
    }
    // 如果左右子树都为空，则是叶子节点
    if (root.left == null && root.right == null) {
        return true;
    }
    // 如果左右子树都不为空，则递归检查
    if (root.left != null && root.right != null) {
        return isFullBinaryTree(root.left) && isFullBinaryTree(root.right);
    }
    // 其他情况（一个子节点为空，另一个不为空）不是满二叉树
    return false;
}

2. 完全二叉树 (Complete Binary Tree)

定义
完全二叉树是指一棵二叉树中，**除了最后一层外，其他层都是满的，并且最后一层的节点都靠左排列。

特点
- 叶子节点只能出现在最底层或次底层。
- 最后一层的节点从左到右连续排列，不能有空缺。
- 常用于实现堆（如优先队列）。

示例

这是一棵完全二叉树，最后一层的节点靠左排列。Java代码：判断完全二叉树

import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;

public boolean isCompleteBinaryTree(TreeNode root) {
    if (root == null) {
        return true; // 空树是完全二叉树
    }

    Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
    queue.offer(root);
    boolean hasNullNode = false; // 标记是否遇到空节点

    while (!queue.isEmpty()) {
        TreeNode current = queue.poll();

        if (current == null) {
            hasNullNode = true; // 遇到空节点
        } else {
            if (hasNullNode) {
                return false; // 如果之前有空节点，当前节点不为空，则不是完全二叉树
            }
            queue.offer(current.left);
            queue.offer(current.right);
        }
    }
    return true;
}

3. 平衡二叉树 (Balanced Binary Tree)

定义
平衡二叉树是指一棵二叉树中，**每个节点的左右子树高度差不超过1**。平衡二叉树的主要目的是保证树的查询效率，避免退化为链表。

特点
- 每个节点的左右子树高度差不超过1。
- 常见的平衡二叉树有AVL树和红黑树。
- 插入和删除操作可能需要调整树的结构以保持平衡。

这是一棵平衡二叉树，每个节点的左右子树高度差不超过1。Java代码：判断平衡二叉树

public boolean isBalanced(TreeNode root) {
    return getHeight(root) != -1;
}

private int getHeight(TreeNode root) {
    if (root == null) {
        return 0; // 空树高度为0
    }

    int leftHeight = getHeight(root.left);
    int rightHeight = getHeight(root.right);

    // 如果左右子树不平衡，返回-1
    if (leftHeight == -1 || rightHeight == -1 || Math.abs(leftHeight - rightHeight) > 1) {
        return -1;
    }

    // 返回当前树的高度
    return Math.max(leftHeight, rightHeight) + 1;
}

4. 二叉搜索树 (Binary Search Tree, BST)

定义
二叉搜索树是一种特殊的二叉树，满足以下性质：
- 左子树的所有节点值小于根节点的值。
- 右子树的所有节点值大于根节点的值。
- 左右子树也分别是二叉搜索树。

特点
- 中序遍历结果是一个有序序列。
- 查找、插入和删除的平均时间复杂度为 `O(log n)`。

示例

这是一棵二叉搜索树，中序遍历结果为 `[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]`。 Java代码：判断二叉搜索树

public boolean isBST(TreeNode root) {
    return isBSTUtil(root, Long.MIN_VALUE, Long.MAX_VALUE);
}

private boolean isBSTUtil(TreeNode root, long min, long max) {
    if (root == null) {
        return true;
    }
    if (root.val <= min || root.val >= max) {
        return false;
    }
    return isBSTUtil(root.left, min, root.val) && isBSTUtil(root.right, root.val, max);
}