模拟芯片设计中数字信号处理一些常用概念（一）

模拟芯片设计中经常用时域场景思考来解决问题，但实际上很多地方如果采用频域角度思考，解决问题更快更方便。

时域和频域的对照关系如下：
a、如果时域信号是周期的，那么它的频谱就是离散的。
b、如果时域信号是非周期的，那么它的频谱就是连续的。
c、如果时域信号是离散的，那么它的频谱就是周期的。
d、如果时域信号是连续的，那么它的频谱就是非周期的。

傅里叶级数
连续的周期信号f(t)可以用三角函数的线性组合来表示，信号的周期为T1，

其中，W1=2pi/T1,可以看出f(t)可由这无限多个离散频率（0，W1,2W1，3W1…）的正弦和余弦函数组成。连续的周期信号频谱是离散的，而且频域是没有周期的。

利用欧拉公式，可以把f(t) 展开为复数形式的傅里叶级数

F(nW1)为复数形式的傅里叶级数的系数。

傅里叶变换
如果我们遇到一个非周期连续的信号，傅里叶级数看起来似乎就不能用了，但是如果我们认为这个非周期信号其实也是一个周期信号，只不过这个周期信号T1趋向于正无穷，W1=2pi/T1，则谱线的间隔趋于无限小，离散频谱变成连续频谱。但是谱线的长度F(nW1)趋于零。所以把（3）式左右乘以T1，把T1*F(nW1)定义为“频谱密度函数”，离散频率nW1变成连续频率w，这就是傅里叶变换。

离散时间傅里叶变换（DTFT）
离散周期信号和离散非周期信号，是连续周期信号和连续非周期信号的采样，如果fs非常大，趋向于无穷，就变成连续周期信号和连续非周期信号。所以引入数字角频率的概念。离散周期信号的频谱是离散的，跟连续周期信号的频谱是离散的一致，只不过通过f0/fs归一化到[-pi,pi]范围内，离散非周期信号的频谱也是连续的，跟连续非周期信号的频谱是连续的一致。只不过通过f0/fs归一化到[-pi,pi]范围内。当fs越大，采样点N越多，就有越多的频谱信息，离散频谱的能量越集中，连续频谱的信息也越多。但无论怎样，频谱都会在（-kpi，kpi），k=2，3…内镜像，呈现周期性。跟连续周期信号对应的傅里叶级数，连续非周期信号对应的傅里叶变换一样，离散周期信号对应离散傅里叶级数（DFS），离散非周期信号对应离散时间傅里叶变换（DTFT）

离散傅里叶变换（DFT/FFT）
根据有限长序列的基本形状，延拓为周期信号，然后采用此信号的DFS，这就产生新的变换，叫做离散傅里叶变换，它是DFS的主周期。

离散的有限序列，在[-pi,pi]上是连续频谱，当有限序列扩展成周期离散序列时，DTFT就变成有限个频率上有频谱。在[-pi,pi]的区间内，长度为N的序列x(n)的N点DFT X(K),实际上就是序列DTFT在N点等间隔频点w=2kpi/N,0=<k<N-1上的样本。

卷积的概念
一个输入信号可以分解为无数个脉冲信号的集合。无数个脉冲信号经过系统后，在这个时刻输出的叠加就是卷积。假设f(a)是第a个脉冲，g(x-a)是x时刻第a个脉冲的系统输出，这样每个都乘起来，再叠加，得最终输出f(x)=∑f(a)*g(x-a)。时域的卷积就是频率相乘。把输入信号和系统都用频域函数表示，得到频域结果再转换到时域中去，就可以很快的得到时域结果。

抽样定理
抽样信号的傅里叶变换，信号在时域被抽样后，它的频谱以抽样频率Ws为间隔重复的得到信号频谱：-Wm~+Wm。那么抽样信号只有满足2*Wm<Ws,信号才不会混叠。

抗混叠滤波器
当需要对某个中心频率的带通信号进行采样时，就先把跟踪滤波器调到与之对应的中心频率上，滤出所感兴趣的带通信号xn(t),然后进行采样。以防止信号混叠，这样的跟踪滤波器称为抗混叠滤波器。抗混叠滤波器可以时模拟滤波器，也可以时数字滤波器。

频谱混叠
设定采样点N，采样频率fs，最高信号频率fh，故频率的分辨率为fs/N,另外需满足fs>=2*fh,不然发生频谱混叠效应。

周期性截断
刚好是周期信号的整数倍。这样的截断可以重构原始信号，产生单一频谱

非周期截断
不是周期信号的整数倍，这样的截断不能重构原始信号，频谱中由拖尾效应，频率成分分布在整个频带上。

吉布斯效应
对于突然瞬间改变的信号，它具有无穷多的频率成分，使用有限频率带宽的数据采集系统是很难重现的，会产生吉布斯现象。一个不连续的信号由无穷多个频率成分。但实际情况是不能采集到无穷多的频率成分。所以信号采集只能采集一定频率范围内的信号，这就是导致频率截断。频率截断引起振铃效应，称之为吉布斯效应。带宽有限的采样系统，显示任何突变不连续或阶跃信号总会有存在吉布斯现象。

频域主要有三大变换，它们的变换关系如下:

傅里叶变换
由傅里叶级数导出，傅里叶级数只适用于周期信号，把非周期信号看成周期T趋于无穷的周期信号，就能推导出傅里叶变换。但傅里叶变换的弱点是原信号必须绝对可积，应用不广。傅里叶变换是一维虚拟空间。

拉普拉斯变换
傅里叶变换不适用指数级增长函数。而拉普拉斯变换相当于是带有一个指数收敛因子的傅里叶变换，把频域推广到复频域，拉普拉斯变换的缺点是从拉普拉斯变换的式子中，只能看到S，没有频率概念。令S=α+j2pi*f，α=0，才能算幅度响应和频率响应。拉普拉斯变换是二维虚拟空间。

Z变换
Z变换的本质是离散傅里叶变换（DTFT），S域分析模拟电路，Z域分析数字电路。Z变换可以把离散卷积变成多项式乘法。Z=e^ST =e^(α+j2pif)T =e^(αT) e^(j2pif*T), T为采样周期。所以Z变换看系统频率响应，就是令Z在复频域的单位圆上跑一圈。即令z=e^(j2pif/fs)，得到频率响应。单位圆上跑0度表示0Hz，单位圆上跑180度就是采样频率的一半。