详解SLAM中的李群和李代数（上）

1 概述

最近阅读高翔大神的《视觉SLAM十四讲》这本书，感觉整本书写的非常的平实，用非常接地气的语言毫无保留的介绍了视觉SLAM的相关知识，非常值得一读。不过，在第4章出现的李群和李代数的相关概念就有点令人难以费解了。其实这段不是这本书的作者故意写的晦涩难懂，而是这部分知识属于数学或者物理专业才会学习的知识，普通的理工科专业的读者没有接触过这方面的知识。笔者也是在这个地方卡了壳，因此在本文中将李群和李代数相关的知识总结一下。

2 群

在数学中，群是一个基础但非常重要的代数结构，它由一个集合和一种满足特定条件的二元运算组成。具体来说，如果一个集合$G$和其上的一个二元运算$\cdot$满足以下四个公理，则称$(G,\cdot )$为一个群：

1. 封闭性（Closure）：对于$G$中任意两个元素$a$和$b$，它们通过运算$\cdot$得到的结果也是$G$的一个元素。即，如果$a,b\in G$，那么$a\cdot b\in G$。
2. 结合律（Associativity）：对于$G$中任意三个元素$a$、$b$和$c$，它们之间的运算满足结合律。即，$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$。
3. 单位元（Identity element）：存在一个$G$中的特殊元素$e$（称为单位元），使得对于$G$中的任何元素$a$都有$e\cdot a=a\cdot e=a$。
4. 逆元（Inverse element）：对于$G$中的每一个元素$a$，都存在一个$G$中的元素$b$（记作$a^{-1}$，称为$a$的逆元），使得$a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e$，这里$e$是上述的单位元。

概念说出来都是很抽象的，那么接下来直接举两个具体的例子。

2.1 整数集与加法运算

如果集合 G = Z = { … , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , … } G = \mathbb{Z}= \{ \dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\ \} G=Z={…,−2,−1,0,1,2,… }，运算$\cdot =+$，那么整数集与加法运算$(Z,+)$就是一个群，因为其符合群的四个公理：

1. 封闭性：
   对于任意两个整数$a,b\in \mathbb{Z}$，$a+b$仍然是一个整数。例如，$3+(-5)=-2$，结果仍然在$\mathbb{Z}$中。
   因此，封闭性成立。

2. 结合律：
   加法是结合的，即对于任意$a,b,c\in \mathbb{Z}$，有

   $$(a+b)+c=a+(b+c)$$

   因此，结合律成立。

3. 单位元：
   单位元是$e=0$，因为对于任意$a\in \mathbb{Z}$，有

   $$a+0=0+a=a$$

   因此，单位元存在。

4. 逆元：
   对于任意$a\in \mathbb{Z}$，它的逆元是$-a$，因为

$$a+(-a)=(-a)+a=0$$

因此，每个元素都有逆元。

2.2 非零实数集与乘法运算

如果集合 G = R ∗ = { x ∈ R ∣ x ≠ 0 } G = \mathbb{R}^* = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq 0 \} G=R∗={x∈R∣x=0}，运算$\cdot =\times$，那么非零实数集与乘法运算$({\mathbb{R}}^{\ast },\times )$就是一个群，因为其符合群的四个公理：

1. 封闭性：
   对于任意两个非零实数$a,b\in {\mathbb{R}}^{\ast }$，$a\times b$仍然是一个非零实数。例如，$3\times (-2)=-6$，结果仍然在${\mathbb{R}}^{\ast }$中。
   因此，封闭性成立。

2. 结合律：
   乘法是结合的，即对于任意$a,b,c\in {\mathbb{R}}^{\ast }$，有

   $$(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$$

   因此，结合律成立。

3. 单位元：
   单位元是$e=1$，因为对于任意$a\in {\mathbb{R}}^{\ast }$，有

   $$a\times 1=1\times a=a$$

   因此，单位元存在。

4. 逆元：
   对于任意$a\in {\mathbb{R}}^{\ast }$，它的逆元是$\frac{1}{a}$，因为

   $$a\times \frac{1}{a}=\frac{1}{a}\times a=1$$

   因此，每个元素都有逆元。

这样来看的话，群的概念还是很好理解的。数学上的语言都是很抽象很概括的，我们不妨结合具体的例子来理解。那么，为什么会有群这个概念呢，因为数学家发现这种二元运算的集合有非常规律良好的性质，因此将其归纳总结了出来。

3 李群

李群是具有光滑性质的群。群的定义我们刚才论述过，那么这个“光滑”指的是一个怎么样的概念呢？要说清楚这个概念，可能需要更加专业的数学知识（比如《微分几何》），但是我们可以用简单一点的概念进行类比，那就是高数中的可导。

回忆一下高数中关于可导的定义：设$f:D\to \mathbb{R}$是一个实值函数，定义在某个区间$D$上，并且$x_0\in D$是该区间中的一个内点。如果极限

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

存在，则称函数$f$在点$x_0$处是可导的，这个极限称为$f$在$x_0$处的导数，记作$f^{\prime }(x_0)$或$\frac{df}{dx}(x_0)$。

直观地说，这个极限衡量了当输入$x$发生微小变化时，输出$f(x)$的变化率。如果一个函数在某区间内处处可导，那么这个函数在该区间内不仅连续，而且是“光滑”的，没有尖点或间断。这是一个非常优良的性质，它意味着这个函数的每个点都可以用切线方程来近似，从而使得复杂的问题可以通过简单的线性问题来解决，极大地简化了计算。

李群的光滑性质就类似于高数中的可导性。光滑意味着群运算是可以进行微分的，李群上的任何点都可以研究其局部变化率（即导数），并通过这些导数来分析群的性质。函数的导数就是导函数，而李群在单位元附近的局部性质的描述就是李代数，它通过切空间捕捉了李群的局部线性化信息。

SLAM中两个重要的李群是特殊正交群$SO(n)$ 和 特殊欧式群$SE(n)$，特殊正交群是旋转变换的集合和运算，特殊欧式群是欧式变换/刚性变换的集合和运算。旋转变换和欧式变换是SLAM中的两个重要的几何变换，要理解这两个概念，需要重点看《视觉SLAM十四讲》第3讲三维空间刚体运动的知识；或者对计算机图形学、计算机视觉中几何变换的知识有所了解。

3.1 特殊正交群$SO(3)$

如果集合$G$是所有的三维旋转矩阵，运算$\cdot$是矩阵乘法，这样构成的群就是特殊正交群 S O ( 3 ) = { R ∈ R 3 × 3 ∣ R T R = I , det ⁡ ( R ) = 1 } SO(3) = \{ R \in \mathbb{R}^{3\times3} \mid R^T R = I, \det(R) = 1\} SO(3)={R∈R3×3∣RTR=I,det(R)=1}。

特殊正交群符合群的四个公理：

• 封闭性：如果$R_1,R_2\in SO(3)$，则$R_1{R}_2\in SO(3)$。两个旋转矩阵的乘积仍然是正交矩阵，且行列式仍为1。从图形学的角度上来说，旋转两次得到的姿态，旋转一次也可以得到。
• 结合律：矩阵乘法本身是结合的，因此$SO(3)$满足结合律。
• 单位元：单位矩阵$I\in SO(3)$，因为$I^{T}I=I$且$\det (I)=+1$。
• 逆元：对于任意$R\in SO(3)$，其逆元是$R^{-1}=R^T$（正交矩阵的性质），且$\det (R^{-1})=1$。

特殊正交群具有光滑特性，这一点我们可以结合旋转变换本身的特性来理解。设想这样的一个场景：三维空间中有一个魔方，这个魔方以自己的中心点位置进行旋转。无论这个魔方怎么旋转，到任何位置，旋转过程都是平滑的。在计算机图形学中，很容易实现这样的一个任务：给定一个起点旋转矩阵、终点旋转矩阵以及起终点的时间差，很容易线性插值出任意时刻的旋转矩阵。能够平滑地旋转物体，也很符合我们对客观物理现象的认知。

3.2 特殊欧式群$SE(3)$

如果集合$G$是所有的欧式变换（刚体变换）矩阵，运算$\cdot$是矩阵乘法，这样构成的群就是特殊欧式群$SE(3)=\{T=\left[\begin{array}{cc}R& t\\ 0& 1\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^{4\times 4}\mid R\in SO(3),t\in {\mathbb{R}}^3\}$。在这里，$R$表示旋转矩阵，$t$是平移向量。

特殊欧式群符合群的四个公理：

• 封闭性：如果$T_1,T_2\in SE(3)$，则$T_1{T}_2\in SE(3)$。欧式变换是齐次变换矩阵，相乘后仍然保持旋转矩阵在左上角，平移向量在右上角的形式。从图形学的角度上来说，欧式变换两次得到的位姿，欧式变换一次也可以得到。
• 结合律：矩阵乘法本身是结合的，因此$SE(3)$满足结合律。
• 单位元：单位矩阵$I_{4\times 4}$（包含$3\times 3$单位矩阵和零平移向量）是$SE(3)$的单位元。
• 逆元：对于任意$T\in SE(3)$，其逆元是

$$T^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{R}^T& -R^{T}t\\ 0& 1\end{array}\right].$$

特殊欧式群具有光滑特性，这一点同样可以结合欧式变换本身的特性来理解。欧式变换是旋转变换与平移变换的组合，我们可以假设这样一个场景：一个照相机要拍摄一个物体，需要移动到这个物体的前方，并且要调整相机朝向，才能准确生成这张物体的照片。相机无论怎么移动位置，调整朝向，这个过程都是平滑的。在计算机图形学的场景中，经常会有这样的需求，按照一条固定的轨迹飞行，这条飞行轨迹上的任意一点都可以通过插值得到，保证相机操作的平滑性。

4 李代数

4.1 预备

在进行李代数的论述之前，我们需要先学习一些预备知识。

4.1.1 反对称矩阵

一个$n\times n$实矩阵$A$是反对称矩阵（或斜对称矩阵），如果它满足：

$$A^T=-A.$$

也就是说，矩阵的转置等于它的负数，那么这个矩阵就是反对称矩阵。一个反对称矩阵的例子如下：

$$A=\left[\begin{array}{ccc}0& -a_3& a_2\\ a_3& 0& -a_1\\ -a_2& a_1& 0\end{array}\right].$$

反对称矩阵有一个很重要的性质：每个三维向量都有唯一的反对称矩阵对应。具体来说，给定一个三维实向量：

$$\mathbf{a}=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^3,$$

我们可以唯一地构造一个$3\times 3$的反对称矩阵，记作：

$$[\mathbf{a}{]}_{\times }=\left[\begin{array}{ccc}0& -a_3& a_2\\ a_3& 0& -a_1\\ -a_2& a_1& 0\end{array}\right].$$

这个符号$[\mathbf{a}{]}_{\times }$中的$\times$表示“叉乘”，因为这个矩阵的作用就等价于与$\mathbf{a}$做叉积。

等价于叉积运算是什么意思呢？设$\mathbf{a},\mathbf{b}\in {\mathbb{R}}^3$，那么：

$$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=[\mathbf{a}{]}_{\times }\mathbf{b}.$$

即：$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$的叉积 等于 反对称矩阵$[\mathbf{a}{]}_{\times }$作用在$\mathbf{b}$上的结果。

举例说明，设：

$$\mathbf{a}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right],\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}4\\ 5\\ 6\end{array}\right],$$

则：

$$[\mathbf{a}{]}_{\times }=\left[\begin{array}{ccc}0& -3& 2\\ 3& 0& -1\\ -2& 1& 0\end{array}\right]$$

$$[\mathbf{a}{]}_{\times }\mathbf{b}=\left[\begin{array}{ccc}0& -3& 2\\ 3& 0& -1\\ -2& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}4\\ 5\\ 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-3\\ 6\\ -3\end{array}\right]$$

而直接计算叉积：

$$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ 1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right|=-3\mathbf{i}+6\mathbf{j}-3\mathbf{k}=\left[\begin{array}{c}-3\\ 6\\ -3\end{array}\right]$$

两者的结果一致。

4.1.2 函数求导

1. 乘积法则

设$f(t),g(t)$是两个可导的实函数，那么它们乘积的导数为：

$$\frac{d}{dt}(f(t)g(t))=f^{\prime }(t)g(t)+f(t)g^{\prime }(t)$$

例如，设$f(t)=t^2,g(t)=\sin t$，则：

$$(fg{)}^{\prime }=(t^2\sin t{)}^{\prime }=2t\sin t+t^2\cos t$$

2. 链式法则

如果$y=f(g(t))$，那么：

$$\frac{dy}{dt}=f^{\prime }(g(t))\cdot g^{\prime }(t).$$

例如，令$f(u)=e^u$，$u=g(t)=at$，根据链式法则：

$$\frac{d}{dt}{e}^{at}=\frac{d}{du}{e}^u\cdot \frac{d}{dt}(at)=e^u\cdot a=e^{at}\cdot a=a{e}^{at}.$$

即：

$$\frac{d}{dt}{e}^{at}=a{e}^{at}$$

4.1.3 矩阵求导

对于一个随自变量t变化的矩阵$R(t)$，它的导数$\frac{dR(t)}{dt}$是将该矩阵的每个元素分别对自变量$t$求导得到的新矩阵。例如：

如果：

$$R(t)=\left[\begin{array}{cc}{r}_{11}(t)& r_{12}(t)\\ r_{21}(t)& r_{22}(t)\end{array}\right],$$

那么：

$$\frac{dR(t)}{dt}=\left[\begin{array}{cc}\frac{d{r}_{11}}{dt}& \frac{d{r}_{12}}{dt}\\ \frac{d{r}_{21}}{dt}& \frac{d{r}_{22}}{dt}\end{array}\right].$$

所以，矩阵对自变量求导 = 矩阵中每个元素对自变量求导。

通过上述概念可看出，矩阵转置运算与微分运算是可交换的。可以理解为：

• 转置是对矩阵元素做排列；
• 微分是对每个元素做导数；
• 所以先转置再导数 = 先导数再转置。

公式描述就是：

$$\frac{d}{dt}R(t{)}^T={\left(\frac{dR(t)}{dt}\right)}^T.$$

4.1.4 微分方程

微分方程是数学中的一种方程，它涉及一个或多个未知函数及其导数，目标是找到满足该方程的未知函数。后面会求解一个一阶线性常微分方程如下：

$$\frac{dx(t)}{dt}=ax(t),x(0)=x_0,$$

其中$a$是常数。

先说答案，这个方程的通解是：

$$x(t)=x_0{e}^{at}.$$

可以把这个解代入原方程验证是否成立。对解的两边进行求导：

$$\frac{dx(t)}{dt}=x_0\cdot \frac{d}{dt}(e^{at})=x_0\cdot a{e}^{at}=a{x}_0{e}^{at}=ax(t).$$

左边是$\frac{dx(t)}{dt}$，右边是$ax(t)$，两者相等，所以解成立。

如果需要严格推导这个解，需要使用分离变量法。

从原方程出发：

$$\frac{dx}{dt}=ax.$$

把变量分开：

$$\frac{1}{x}dx=adt.$$

两边积分：

$$\begin{gathered} \int \frac{1}{x}dx=\int adt \\ \Rightarrow \ln |x|=at+C, \end{gathered}$$

其中$C$是积分常数。

两边取指数：

$$|x|=e^{at+C}=e^C{e}^{at}.$$

令$x_0=e^C$，得：

$$x(t)=x_0{e}^{at}.$$

4.2 引出

前面我们介绍过，李群的光滑性质保证了是可以微分的，那我们就尝试对李群$SO(3)$进行求导。假设一个刚体在三维空间中绕某个轴旋转，其旋转状态可以用一个旋转矩阵$R(t)$来描述，其中$t$是时间参数。那么我们要求的就是$R(t)$关于时间$t$的导数：

$$\frac{d}{dt}R(t)$$

由于$R(t)$是正交矩阵，满足$R(t{)}^{T}R(t)=I$，对两边关于$t$求导：

$$\frac{d}{dt}(R(t{)}^{T}R(t))=\frac{d}{dt}I$$

根据函数求导的乘积法则，展开左边的导数：

$$\frac{dR(t{)}^T}{dt}R(t)+R(t{)}^T\frac{dR(t)}{dt}=0.$$

根据预备知识，矩阵转置运算与微分运算可交换，有$\frac{dR(t{)}^T}{dt}=(\frac{dR(t)}{dt}{)}^T$，因此上式可以改写为：

$$(\frac{dR(t)}{dt}{)}^{T}R(t)+R(t{)}^T\frac{dR(t)}{dt}=0.$$

继而：

$$\frac{dR(t)}{dt}R(t{)}^T=-(\frac{dR(t)}{dt}{)}^{T}R(t)$$

这表明$\frac{dR(t)}{dt}R(t{)}^T$是一个反对称矩阵，记作$[\mathbf{\omega }(t){]}_{\times }$，即：

$$\frac{dR(t)}{dt}=[\mathbf{\omega }(t){]}_{\times }R(t),$$

上式是一个一阶线性微分方程，有如下条件：

$$\frac{dR(t)}{dt}=[\mathbf{\omega }{]}_{\times }R(t),R(0)=I,$$

这个方程我们在预备知识中求解过，它的解是：

$$R(t)=\exp ([\mathbf{\omega }{]}_{\times }t).$$

其中$\exp$表示矩阵指数运算。$\mathbf{\omega }(t)$描述了刚体在时刻$t$的瞬时旋转轴和旋转速率，其实也就是表达旋转矩阵的旋转向量，$[\mathbf{\omega }(t){]}_{\times }$是其对应的反对称矩阵。这个公式给出了从旋转向量到旋转矩阵（李群）的映射，也就是指数映射。而这个旋转向量，就是我们要论述的李代数。

如果读者熟悉计算机图形学，就会对旋转向量并不陌生，它描述了一个旋转操作的方向（旋转轴）和大小（旋转角度）。四元数就是一个与旋转向量密切相关的参数，通过罗德里格斯公式也可以将旋转向量转换成旋转矩阵。

5 结语

本篇由群引申到李群，再引出到李代数，不得不说SLAM中李群和李代数相关的知识还是很多，其中很多知识都是第一次接触到。另外，很多更基础的知识（比如高数、线代）也都忘记了，不得不一边学习新的知识一边复习旧的知识。在下一篇文章中，笔者会继续总结论述一下李代数相关的内容。