408考研逐题详解：2009年第5题
2009年第5题
已知一棵完全二叉树的第 6 层（设根为第 1 层）有 8 个叶结点，则该完全二叉树的结点个数最多是（ ）
A. 39 \qquad B. 52 \qquad C. 111 \qquad D. 119
知识点提炼及解释
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完全二叉树：完全二叉树是一种特殊的二叉树，其中所有内部结点都有两个子结点，并且所有的叶结点都在最底层或次底层，且尽可能靠左排列。
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满二叉树：满二叉树是一种特殊的二叉树，除了最后一层的叶结点外，其他所有结点都有两个子结点。
- 对于满二叉树，第 i 层共计有 2 i − 1 2^{i-1} 2i−1 个结点
- 若满二叉树的高度是 h h h ，则共计有 2 h − 1 2^h-1 2h−1 个结点。
详解
题目描述了一棵完全二叉树，若从根结点到第 6 层，每一层都是“满”的，则第 6 层应该有 2 6 − 1 = 32 2^{6-1}=32 26−1=32 个结点。
题目中已知第 6 层有 8 个叶结点，根据完全二叉树的定义，该层可能是最底层，也可是次底层（即其他其余的 24 个位置被非叶结点占据。
又因为题目中要求的使“结点个数最多”，因此可以判断第 6 层是次底层。依然是在“结点最多”的条件下，于是可知，另外 24 个非叶结点中每个结点还有两个叶结点，即第 7 层是最底层，共计有 24 × 2 = 48 24\times2=48 24×2=48 个叶结点。
从根结点（第 1 层）到第 6 层，由于是“满”的，总计结点数量是 2 6 − 1 = 63 2^6-1=63 26−1=63 。
故，此完全二叉树最多的结点数量是 63 + 48 = 111 63+48=111 63+48=111 。
本题答案：C