2-SAT之完美塔防
小N最近喜欢玩一款塔防游戏。
题目描述
这款游戏的棋盘是一个 n×m 的网格，每个格子上会有以下类型物件：
- A 型炮台：会向上下两个方向同时发射激光，符号为
|; - B 型炮台：会向左右两个方向同时发射激光，符号为
-; - 空地：激光穿过该物件会保持方向前进，符号为
.; - 障碍：激光到达该物件会消失，符号为
#; - 正反射镜：激光到达该物件后，会依物理定律改变方向，但仍继续前进，符号为
\; - 副反射镜：激光到达该物件后，会依物理定律改变方向，但仍继续前进，符号为
/;
注意激光之间可以互相穿过，但如果激光射出网格边界，也会消失。
小 N 是一个强迫症玩家，他想让每一处空地都会被至少一束激光打到，但不能让激光攻击到自己的炮台以致损坏。
小 N 可以将任意多的 A 型炮台改造成 B 型炮台，也可以把任意多的 B 型炮台改造成 A 型炮台。
你可以告诉他能否通过这些改造实现他的目标吗?
输入格式
第一行一个正整数 T，表示数据组数。
每组数据第一行有两个正整数 n,m。
接下来 n 行，每行一个长度为 m 的字符串，表示棋盘。
输出格式
对于每组数据，若无解则输出一行 IMPOSSIBLE，否则输出一行 POSSIBLE，再输出改造后的棋盘。
如果有多组解，输出任意一个即可。
思路：
首先 n,m≤50，暴力枚举每个炮台的朝向是不可取的，但可以分别计算每个炮台每种朝向能打到的格子。不难想到，能打到自己炮台的炮台朝向一定是不可取的。
题目又说道，要求每一处空地都会被至少一束激光打到，那我们需要看每一处空地可能被哪些炮台的哪些朝向打到。
接下来是题目的核心，每一处空地最多可能被哪些炮台的哪些可取的朝向打到呢？ 首先，空地不会被两束同向的激光打到，因为若可能，它们必有重合的一段路径，然而其中一束激光会被路径上的炮台或反射镜所影响。
举个例子：
-.\.
....
-.\.
....
此图中对于空地 (4,3)，若上方除 (3,1) 的激光打来，一定会碰到反射镜而改变路径。
其次，空地也不会被两束反向的激光打到，因为光路可逆，若可能，一束激光能打到空地，则一定能沿着反向打到该空地的激光的逆光路，打到另一个炮台。
还是通过举例说明：
-..\
....
.-./此图中两束激光均能打到 (2,4) 的空地，且方向相反，不难发现它们必能互相打到。
综上所述，再根据抽屉原理，每个空地最多可能被两个炮台的可取的朝向打到。 又因为至少被一束激光打到。所以，每个空地均可被看作 i 炮台为横/竖向 或 j 炮台为横/竖向 的约束条件。 这里就能看出是 2-SAT 问题了，根据前文所述，用 2-SAT 模板的处理方法即可。
代码细节
思路是简明且重要的，并且代码细节难度也不容小觑 （毕竟是黑题
认为自己的代码实现思路是清晰且完备的，下面进行展示。
- 遍历激光的路径使用 dfs，除了建立方向数组，再建立两个数组
lf[],rf[]代表每种激光方向经过副/主反射镜后改变成的方向，这样能简便地处理反射的问题。
const int dx[]={0,-1,0,1},dy[]={-1,0,1,0},lf[]={3,2,1,0},rf[]={1,0,3,2};
...
bool dfs(int x,int y,int dir){int xx=x+dx[dir],yy=y+dy[dir];if(mp[xx][yy]=='#'||xx<1||xx>n||yy<1||yy>m)return 1;if(mp[xx][yy]=='/')return dfs(xx,yy,lf[dir]);if(mp[xx][yy]=='\\')return dfs(xx,yy,rf[dir]);if(mp[xx][yy]=='.')return dfs(xx,yy,dir);return 0;
}
- 对于每个朝向，先 dfs 一次判断是否能打到其他炮台，能则说明朝向不合法，建一条选该朝向指向选另外朝向的边，体现选该朝向就能推出矛盾。否则朝向合法，再进行一次 dfs 寻找能打到的空地。这里用 i 表示横向，用 i+tcnt 表示竖向。
for(int i=1;i<=tcnt;i++){if(!dfs(towx[i],towy[i],0)||!dfs(towx[i],towy[i],2))add(i,i+tcnt);else{dfs2(i,towx[i],towy[i],0);dfs2(i,towx[i],towy[i],2);}if(!dfs(towx[i],towy[i],1)||!dfs(towx[i],towy[i],3))add(i+tcnt,i);else{dfs2(i+tcnt,towx[i],towy[i],1);dfs2(i+tcnt,towx[i],towy[i],3);}}
-
接下来遍历每处空地建边，注意分类讨论：
-
若空地不能被任何激光打到，直接无解。
-
若空地只能被一个炮台的朝向打到，建一条不选该朝向指向选该朝向的边，体现该朝向不得不选。
-
若空地能被两个炮台的朝向打到，就是常规的 2-SAT，分别建 ¬i→j 和 ¬j→i 的边。
这里定义了一个函数 opp 表示相反朝向对应的编号。
for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){if(mp[i][j]=='.'){int sz=S[i][j].size();if(sz==0)add(1,tcnt+1),add(tcnt+1,1);if(sz==1)add(opp(S[i][j][0]),S[i][j][0]);if(sz==2){if(opp(S[i][j][0])!=S[i][j][1])add(opp(S[i][j][0]),S[i][j][1]),add(opp(S[i][j][1]),S[i][j][0]);}}}}
至此，本题的所有代码难点都过去了，接下来正常地跑 Tarjan，通过强连通分量编号确定每个炮台的朝向即可
代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<vector>
#define N 5010
#define M N<<1
using namespace std;
int T,n,m;
int low[N],dfn[N],scc[N],num,cnt,towx[N],towy[N],tcnt,flag;
int h[N],nxt[M],ver[M],tot,st[N],top;
const int dx[]={0,-1,0,1},dy[]={-1,0,1,0},lf[]={3,2,1,0},rf[]={1,0,3,2};
char mp[55][55];
vector<int>S[55][55];
void init(){num=cnt=tcnt=top=0,tot=-1,flag=1;memset(h,-1,sizeof(h)); memset(dfn,0,sizeof(dfn));memset(scc,0,sizeof(scc));for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++)S[i][j].clear();}
}
void add(int x,int y){ver[++tot]=y;nxt[tot]=h[x];h[x]=tot;
}
int opp(int x){return x<=tcnt?x+tcnt:x-tcnt;
}
bool dfs(int x,int y,int dir){int xx=x+dx[dir],yy=y+dy[dir];if(mp[xx][yy]=='#'||xx<1||xx>n||yy<1||yy>m)return 1;if(mp[xx][yy]=='/')return dfs(xx,yy,lf[dir]);if(mp[xx][yy]=='\\')return dfs(xx,yy,rf[dir]);if(mp[xx][yy]=='.')return dfs(xx,yy,dir);return 0;
}
void dfs2(int id,int x,int y,int dir){int xx=x+dx[dir],yy=y+dy[dir];if(mp[xx][yy]=='#'||xx<1||xx>n||yy<1||yy>m)return ;if(mp[xx][yy]=='/')dfs2(id,xx,yy,lf[dir]);if(mp[xx][yy]=='\\')dfs2(id,xx,yy,rf[dir]);if(mp[xx][yy]=='.')S[xx][yy].push_back(id),dfs2(id,xx,yy,dir);
}
void tarjan(int u){st[++top]=u;low[u]=dfn[u]=++num;for(int i=h[u];~i;i=nxt[i]){int v=ver[i];if(!dfn[v]){tarjan(v);low[u]=min(low[v],low[u]);}else if(!scc[v])low[u]=min(dfn[v],low[u]);}if(low[u]==dfn[u]){++cnt;while(1){int v=st[top--];scc[v]=cnt;if(v==u)break;}}
}
int main(){scanf("%d",&T);while(T--){scanf("%d%d",&n,&m);init();for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%s",mp[i]+1);for(int j=1;j<=m;j++){if(mp[i][j]=='-'||mp[i][j]=='|')towx[++tcnt]=i,towy[tcnt]=j;}}for(int i=1;i<=tcnt;i++){if(!dfs(towx[i],towy[i],0)||!dfs(towx[i],towy[i],2))add(i,i+tcnt);else{dfs2(i,towx[i],towy[i],0);dfs2(i,towx[i],towy[i],2);}if(!dfs(towx[i],towy[i],1)||!dfs(towx[i],towy[i],3))add(i+tcnt,i);else{dfs2(i+tcnt,towx[i],towy[i],1);dfs2(i+tcnt,towx[i],towy[i],3);}}for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){if(mp[i][j]=='.'){int sz=S[i][j].size();if(sz==0)add(1,tcnt+1),add(tcnt+1,1);if(sz==1)add(opp(S[i][j][0]),S[i][j][0]);if(sz==2){if(opp(S[i][j][0])!=S[i][j][1])add(opp(S[i][j][0]),S[i][j][1]),add(opp(S[i][j][1]),S[i][j][0]);}}}}for(int i=1;i<=2*tcnt;i++){if(!dfn[i])tarjan(i);}for(int i=1;i<=tcnt;i++){if(scc[i]==scc[i+tcnt]){printf("IMPOSSIBLE\n");flag=0;break;}}if(flag){printf("POSSIBLE\n");for(int i=1;i<=tcnt;i++){if(scc[i]>scc[i+tcnt])mp[towx[i]][towy[i]]='|';else mp[towx[i]][towy[i]]='-';}for(int i=1;i<=n;i++){printf("%s\n",mp[i]+1);}}}return 0;
}