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leetcode精选合集(更新中）

news 来源：原创 2025/5/1 23:09:26

仅做收集重要理论和思维

1.位运算
- 1.1863.找出所有子集异或总和再求和
2.快速幂
- 1.1922.统计好数字的数目

1.位运算

1.1863.找出所有子集异或总和再求和

1863.找出所有子集异或总和再求和
一个个集合硬算当然是可以，但是这样时间复杂度无疑很高。所以先归纳好数学规律再动笔。数学规律如下：
原著@leetcode灵茶山艾府
方法1：
在有至少一个 1 的情况下，nums 的所有子集的异或和的总和为2ⁿ-1。(假设集合只有0和1）
对于异或运算，每个比特位是互相独立的，我们可以先思考只有一个比特位的情况，也就是 nums 中只有 0 和 1 的情况。（从特殊到一般）
在这种情况下，如果子集中有偶数个1，那么异或和为0；如果子集中有奇数个1，那么异或和为1。所以关键是求出异或和为 1 的子集个数。设 nums 的长度为 n，且包含 1。我们可以先把其中一个 1 拿出来，剩下 n−1 个数随便选或不选，有 2ⁿ−1种选法。
如果这 n−1 个数中选了偶数个 1，那么放入我们拿出来的 1（选这个 1），得到奇数个 1，异或和为 1。
如果这 n−1 个数中选了奇数个 1，那么不放入我们拿出来的 1（不选这个 1），得到奇数个 1，异或和为 1。
所以，恰好有 2ⁿ−1个子集的异或和为 1。
注意!!
这个结论与 nums 中有多少个 1 是无关的，只要有 1，异或和为 1 的子集个数就是 2ⁿ−1 。如果 nums 中没有 1，那么有 0 个子集的异或和为 1。所以，在有至少一个 1 的情况下，nums 的所有子集的异或和的总和为2ⁿ-1。
因此对于一个确定位来说，只要有1个数的这个位上有1，那么集合中所有子集的这个位的异或和总和是 2ⁿ-1。因为0是偶数，1是奇数，那么这个规律是否可以用到一般规律上？
方法1的一般性数理（二项式证明）：
大小为n 的集合中，有 2ⁿ−1个大小为奇数的子集。其中 n 是正整数。
从组合数来说明，在n个数里面大小为k的子集个数是：
$\frac{n!}{k!(n-k)!}$
因此，大小为奇数的子集个数是：

$\sum_{k= 1}^{n或n-1}C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}(k是奇数）$

由二项式定理有：
$b)^n=\sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k}a^{n - k}b^{k}$

当 a = 1，b = 1时：
$1)^n=\sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k}\times1^{n - k}\times1^{k}$
$\sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k}\times1^{n - k}\times1^{k}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+\cdots + C_{n}^{n}$
$C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+\cdots + C_{n}^{n}=2^n$
当 a = 1，b = -1 时：

$1)^n=\sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k}\times1^{n - k}\times(-1)^{k}$
$\sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k}\times1^{n - k}\times(-1)^{k}=C_{n}^{0}-C_{n}^{1}+C_{n}^{2}-C_{n}^{3}+\cdots+(-1)^{n}C_{n}^{n}$
$C_{n}^{0}-C_{n}^{1}+C_{n}^{2}-C_{n}^{3}+\cdots+(-1)^{n}C_{n}^{n}=0$

将两式相减：
$(C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+\cdots + C_{n}^{n})-(C_{n}^{0}-C_{n}^{1}+C_{n}^{2}-C_{n}^{3}+\cdots+(-1)^{n}C_{n}^{n})=2^n - 0$
$2(C_{n}^{1}+C_{n}^{3}+C_{n}^{5}+\cdots)=2^n$
$(C_{n}^{1}+C_{n}^{3}+C_{n}^{5}+\cdots)=2^{n-1}$
两边同时除以 2，可得：
$(C_{n}^{1}+C_{n}^{3}+C_{n}^{5}+\cdots = 2^{n - 1})$ 即大小为 n 的集合中，大小为奇数的子集个数是2^n-1。

方法1的一般性数理（数学归纳法）：
基于数学归纳法证明大小为 n 的集合中大小为奇数的子集个数为2^n-1。

基础步骤：当 n = 1时，集合{a}有子集 $\emptyset$ 和{a}，奇数大小子集{a}个数为1 = 2^1-1，成立
假设步骤：设大小为n的集合中奇数大小子集个数为2^n-1。
归纳步骤：当集合大小为n+1，先把第n+1个元素拿出来，由假设步骤知道，剩下大小为n的集合中奇数大小子集个数为2^n-1个。
大小为n的子集中奇数个数是2^n-1个，那么大小是偶数的个数为2ⁿ-2^n-1=2^n-1个。将大小是偶数的子集再加上第n+1个元素，那么每个子集大小都是奇数，正好也是2^n-1个。两个2^n-1就是2ⁿ个
综上，大小为 n 的集合中大小为奇数的子集个数为2^n-1。
抛砖引玉，写是永远写不完的，参与一下意思意思即可，现在要去专心做这一类的题了，查阅<<哆啦洋语录>>第1条： $写题要：专注完成，归纳总结，然后举一反三$
$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad ——————哆啦洋$
传送门：灵茶8题

2.快速幂

1.1922.统计好数字的数目

基础知识点，但是个人think有一个地方是易混淆的地方，理解这一难点，至少简单的快速幂都没有什么阻碍了。抛砖引玉，先看这题1922.统计好数字的数目
先理解一下什么是快速幂：
$要计算2^{10}的值是多少，别和我说是 2^{10}$
$傻瓜做法 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * .....$
$正常人做法=2^{10}=2^{{1010}_{2进制} }=(2^8*1)*(2^4*0)*(2^2*1)*(2^1*0)$
仔细对照等式两边，如果还没看到一点玄机的右上角点击’X’离开。
显然，本来是10次for循环的计算优化成了4次for循环。代码如下：

int power_2(int n)   //计算2的n次幂
{
	int ans=1;
	int base=2;
	while(n)
	{
		if(n&1)   //当前位是1
			ans=ans*base;
		n>>=1;
		base*=base;   //易混淆点
	}
	cout<<ans;
}

易混淆点在于: base*=base ,而不是base*=2。为什么是这样？
比如2¹⁰¹⁰(二进制)=2¹⁰⁰⁰*2⁰⁰¹⁰,其中2⁰⁰¹⁰到2⁰¹⁰⁰是这样来的，2⁰¹⁰⁰=2⁰⁰¹⁰*2⁰⁰¹⁰,再2¹⁰⁰⁰=2⁰¹⁰⁰*2⁰¹⁰⁰.
因此这里要注意。
从特殊到一般，如果底数不是2，将base改成需要的底数即可
模板：

int power_x(int n,int x)   //计算x的n次幂
{
	int ans=1;
	int base=x;
	while(n)
	{
		if(n&1)   //当前位是1
			ans=ans*base;
		n>>=1;
		base*=base;   //易混淆点
	}
	cout<<ans;
}

早就说了，写博客是永远写不完的，别往下翻了，快速幂到这里就没了，入个门就差不多了，我也要睡觉了，参阅<<哆啦洋语录>>第2条：
$当天的任务完不成，那么改天再完成$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad ——————哆啦洋$