二次规划及其MATLAB实现
引言
二次规划（Quadratic Programming, QP）是一类重要的优化问题，其目标函数为二次函数，约束条件为线性不等式或等式。二次规划问题在工程、经济、金融等领域有广泛应用，如投资组合优化、人脸表情动画的权重求解、机械设计中的最优控制等。本文将详细介绍二次规划的数学模型、求解方法，并结合MATLAB进行实现，提供具体的算法代码示例。
二次规划的数学模型
二次规划问题的标准形式可以表述为：
二次规划问题中的目标函数是二次型，约束条件为线性，因此问题的解法需要考虑二次型的性质（如正定性、半正定性等）。当 PPP 是正定矩阵时，目标函数存在唯一的全局最优解；当 PPP 是半正定矩阵时，可能存在多个最优解。
二次规划的求解方法
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拉格朗日乘子法： 拉格朗日乘子法是求解带等式约束的优化问题的经典方法。通过引入拉格朗日乘子，将原问题转化为无约束优化问题进行求解。对于二次规划问题，拉格朗日函数为：
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通过求解一阶条件方程，可以得到问题的最优解。
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有效集方法： 有效集方法用于求解带不等式约束的二次规划问题。其基本思想是从一个初始可行解出发，逐步修正有效约束集，直到找到最优解。有效集方法的核心在于动态确定哪些不等式约束为活跃约束，即对当前解起到限制作用。
有效集算法步骤(二次规划算法)：
- 选取一个初始可行解 x0x_0x0；
- 构造有效集，即满足等式 Gx=hGx = hGx=h 的约束；
- 通过求解子问题更新解和拉格朗日乘子；
- 检查终止条件，若满足终止条件则输出最优解，否则更新有效集，继续迭代。
MATLAB实现
MATLAB提供了求解二次规划问题的函数 quadprog，适用于有线性约束的凸二次规划问题。下面是一个简单的二次规划问题的求解示例。
示例：投资组合优化
考虑一个典型的投资组合优化问题，目标是最小化投资组合的风险（即方差），并满足一定的收益约束。其数学模型为：
MATLAB代码：
% 定义二次规划问题的参数
P = [4 1; 1 2]; % 二次项的系数矩阵
q = [1; 1]; % 线性项的系数
A = [1, 1]; % 等式约束矩阵
b = [1]; % 等式约束常数
G = [-1, 0; 0, -1]; % 不等式约束矩阵
h = [0; 0]; % 不等式约束常数
% 使用quadprog求解二次规划问题
x = quadprog(P, q, G, h, A, b);
% 显示最优解
disp('最优解:');
disp(x);
运行结果： 该代码通过 quadprog 函数求解二次规划问题，输出的结果是投资组合的最优权重分配。quadprog 函数能够处理具有不等式和等式约束的凸二次规划问题，在优化财务投资等实际场景中非常有用。
二次规划的复杂度分析
二次规划问题的复杂度取决于矩阵 PPP 和约束的结构。对于凸二次规划问题，若矩阵 PPP 为正定矩阵，问题可以通过迭代方法高效求解。quadprog 函数采用的是内点法或有效集法，这些方法在处理大规模问题时表现出色。
表格总结：常见二次规划问题及其求解方法
| 问题类型 | 目标函数形式 | 约束条件 | 求解方法 | 复杂度 |
|---|---|---|---|---|
| 投资组合优化 | 12xTPx\frac{1}{2} x^T P x21xTPx | 线性等式约束和不等式约束 | quadprog、内点法、有效集法 | O(n3)O(n^3)O(n3) |
| 人脸表情权重求解 | 12xTPx+qTx\frac{1}{2} x^T P x + q^T x21xTPx+qTx | 线性等式约束 | 拉格朗日乘子法 | O(n2)O(n^2)O(n2) |
| 机械设计的最优控制 | 12xTPx+qTx\frac{1}{2} x^T P x + q^T x21xTPx+qTx | 线性等式和不等式约束 | 有效集法、内点法 | O(n3)O(n^3)O(n3) |
| 带不等式约束的资源分配问题 | 12xTPx\frac{1}{2} x^T P x21xTPx | 线性不等式约束 | quadprog、内点法 | O(n3)O(n^3)O(n3) |
二次规划的应用
二次规划问题在实际中有广泛的应用：
- 投资组合优化：金融领域中，通过二次规划模型来优化投资组合，最小化风险，最大化收益。
- 人脸表情动画：通过二次规划模型求解人脸表情的权重，使得动画中不同的表情基组合呈现出逼真的表情效果(二次规划算法)。
- 资源分配问题：工业生产和工程设计中，通过二次规划模型分配有限的资源，确保最优的生产效率。
结论
二次规划作为优化领域的重要分支，解决了许多实际的凸优化问题。通过有效集方法、内点法等算法，MATLAB中的 quadprog 函数能够高效求解这类问题。二次规划广泛应用于投资组合优化、人脸表情动画、资源分配等多个领域，是工程和经济学中的重要工具。
