【14】数据结构之哈夫曼树篇章

哈夫曼树

哈夫曼树的定义

• 路径：从一个结点到另一个结点的路线
• 树的路径长度：从树根到树中每个结点的路径长度之和
• 结点的权：在一些应用中，赋予树中结点的一个有某种意义的实数
• 结点的带权路径长度：结点到树根之间的路径长度与该结点权值的乘积
• 树的带权路径长度WPL：树中所有叶子结点的带权路径长度之和$$\text{WPL}=\sum _{i=1}^n{w}_i{l}_i$$
• 其中，w是叶子结点的权值，n是叶子结点的个数，l是叶子结点到根的路径长度.
• 带权路径长度最小的二叉树称为最优二叉树.

哈夫曼树的构造

• 有n棵权值分别为w₁, w₂, …, wₙ的二叉树所组成的集合，这些二叉树的左右子树都为空
• 从集合中选取出权值最小的两棵二叉树构成一棵新的二叉树。为了保证新树仍是二叉树，需要增加一个新结点作为新二叉树的根，将所选的两棵子树作为其根结点的左右子树，并将其两个子树的权值之和作为其根的权值。从集合中删除已经选中的二叉树，将新生成的树加入集合中参与下一轮选择
• 重复上一步操作，直至集合中剩下最后一棵二叉树，这棵二叉树便是哈夫曼树
• 哈夫曼树的构造过程
  
• 上述哈夫曼树的WPL值情况：$$WPL=5\times 2+1\times 3+4\times 3+7\times 2+9\times 2=57$$

哈夫曼编码

• 一般地，设需要编码的字符集为{a₁, a₂, a₃, …, aₙ}，各个字符出现的频率为{w₁, w₂, …, wₙ}。规定左分支为0，右分支为1，则从根结点到叶子结点经过的分支所组成的0和1字符串便是对应字符的编码，这就是哈夫曼编码。
• 示意图
  

哈夫曼树的实现

class Node(object):
    def __init__(self, weight):
        # 结点的权值
        self.weight = weight
        self.left = None
        self.right = None
        # 是否新构造根结点，新构造的结点不进行WPL计算
        self.isNew = False

    def __gt__(self, other):
        """用于对结点之间的排序"""
        return self.weight > other.weight

class huffmanTree(object):
    def __init__(self, nodeList):
        self.WPL = 0
        self.root = self.createHuffmanTree(nodeList)

    def createHuffmanTree(self, nodeList):
        """
        创建哈夫曼树
        :param nodeList: 森林中的单个结点构成的二叉树
        :return:
        """
        # 如果当前森林中二叉树棵树大于1
        while len(nodeList) > 1:
            # 森林中的二叉树进行排序
            nodeList.sort()
            # 获取根结点最小的二叉树
            left = nodeList.__getitem__(0)
            # 获取根结点次小的二叉树
            right = nodeList.__getitem__(1)
            # 构造新结点
            newNode = Node(left.weight + right.weight)
            newNode.isNew = True
            # 将新结点的左孩子结点指针指向left结点
            newNode.left = left
            # 将新结点的右孩子结点指针指向right结点
            newNode.right = right
            # 从森林中删除已选择的二叉树
            nodeList.pop(0)
            nodeList.pop(0)
            # 将新构造的二叉树加入森林中
            nodeList.append(newNode)
        return nodeList.__getitem__(0)

    def calculate_WPL(self, node, level):
        """
        计算哈夫曼树的wpl
        :param node: 根结点
        :param level: 层数
        :return:
        """
        if node != None:
            if not node.isNew:
                self.WPL += node.weight * level
            self.calculate_WPL(node.left, level+1)
            self.calculate_WPL(node.right, level+1)


if __name__ == "__main__":
    print('PyCharm')
    nodeList = []
    nodeList.append(Node(1))
    nodeList.append(Node(7))
    nodeList.append(Node(4))
    nodeList.append(Node(5))
    nodeList.append(Node(9))
    hufftree = huffmanTree(nodeList)
    hufftree.calculate_WPL(hufftree.root, 0)
    print("哈夫曼树的WPL：", hufftree.WPL)

• 运行结果