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（蓝桥杯）动态规划蓝桥杯竞赛指南：动态规划解决最少钞票数问题（超详细解析+代码实现）

news 来源：原创 2025/5/29 18:31:17

问题描述

近期，黄开的银行新发行了一种面额为 4 的钞票，使得钞票种类增至 5 种：20、10、5、4 和 1 元。银行在发钞时十分“节俭”，当有客户取钱时，需要以最少的钞票数来满足取款金额。 问题要求： 对于给定的金额 n（1 ≤ n ≤ 10000），求出凑成该金额所需的最少钞票数量。

输入格式： 输入包含不超过 10 组测试数据，每组数据给出一个整数 n。

输出格式： 对每组测试数据输出一个整数，表示最少所需钞票数。

输入样例：

 20
 2
 6

输出样例：

 1
 2
 2

2. 动态规划核心思路

动态规划（DP）的核心思想是 记住历史，我们逐步计算 dp[i]，即金额 i 的最小钞票数。

关键步骤

1️⃣ 定义 dp 数组：

dp[i] = 凑出金额 i 的最少钞票数

2️⃣ 初始化：

dp[0] = 0（凑 0 元需要 0 张钞票）
其余初始值设为 ∞（表示不可达）

3️⃣ 状态转移方程：对于每个金额 i 和面额 coin：

 if i >= coin:
     dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1)

即当前金额的最优解 = 使用 coin 面额后的剩余金额的解 + 1。这意味着：使用一张面额为 coin 的钞票后，剩余金额 i - coin 的最优解加上这张钞票即为候选答案。

代码实现

以下给出完整的 Java 实现示例：

 import java.util.Scanner;
 import java.util.Arrays;
 
 public class Main {
     public static void main(String[] args) {
         Scanner scanner = new Scanner(System.in);
         int[] coins = {20, 10, 5, 4, 1}; // 钞票面额
 
         while (scanner.hasNext()) {
             int n = scanner.nextInt();
             int[] dp = new int[n + 1]; // dp 数组，用于存储各金额所需的最少钞票数
             
             // 初始化 dp 数组
             Arrays.fill(dp, Integer.MAX_VALUE);
             dp[0] = 0; // 0 元不需要钞票
             
             // 状态转移：从 1 到 n 逐步求解
             for (int i = 1; i <= n; i++) {
                 for (int coin : coins) {
                     if (i >= coin && dp[i - coin] != Integer.MAX_VALUE) {
                         dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coin] + 1);
                     }
                 }
             }
             
             // 输出金额 n 所需的最少钞票数
             System.out.println(dp[n]);
         }
         scanner.close();
     }
 }

💡 代码亮点：

面额降序排列：优先尝试大面额，减少计算次数
边界检查：确保 dp[i - coin] 有效

示例解析

以样例输入 6 为例，详细说明动态规划过程：

初始化： dp[0] = 0，其余 dp[1...6] 均初始化为无穷大。
计算 dp[1]：
- 只有使用 1 元钞票：dp[1] = dp[0] + 1 = 1。
计算 dp[2]：
- 使用两张 1 元：dp[2] = dp[1] + 1 = 2。
计算 dp[3]：
- 使用三张 1 元：dp[3] = dp[2] + 1 = 3。
计算 dp[4]：
- 直接使用 4 元钞票：dp[4] = dp[0] + 1 = 1；
- 使用 1 元钞票方案为：dp[4] = dp[3] + 1 = 4；取较优解，故 dp[4] = 1。
计算 dp[5]：
- 使用 5 元钞票：dp[5] = dp[0] + 1 = 1；
- 使用组合方案：4 + 1 元，dp[5] = dp[1] + 1 = 2；取较优解，故 dp[5] = 1。
计算 dp[6]：
- 使用 5 元 + 1 元：dp[6] = dp[1] + 1 = 2；
- 使用 4 元 + 1 元 + 1 元：dp[6] = dp[2] + 1 = 3；取较优解，故 dp[6] = 2。