【数论4】求解线性同余方程和方程组
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前言
线性同余方程
扩展欧几里得算法求逆元
中国剩余定理
前言
今天要讲的内容是扩展欧几里得定理的简单应用（求解线性同余方程），中国剩余定理（多元线性同余方程组求解）
线性同余方程
先来讲一下什么是线性同余方程，线性同余方程和一次方程是等同的，只不过线性同余方程是在模意义下，比如下面这个方程：
a * x mod m = b
要求解x，首先要将模意义下转化成非模意义下：
a * x = b - k * m
移项：
a * x + k * m = b
是不是和扩展欧几里得算法特别像，所以这个方程可以使用扩展欧几里得算法来求解，但是有个前提：
b必须是gcd(a, m)的整数倍，当b不是gcd(a, m)的整数倍的时候就不可以用扩展欧几里得算法求解，或者说无解。
因此我们只需要求出利用扩展欧几里得算法求出x, k最后成比例变换就可以了，是不是很简单（代码我没来得及写QAQ），大家凑合看吧。
扩展欧几里得算法求逆元
我们知道快速幂配合费马小定理是可以求逆元的，但是那仅限于模m是质数的情况，而要利用欧拉函数实现一般情况下求逆元的话显然太复杂，而且效率也不高，所以一般情况下m不是质数时我们选择使用扩展欧几里得算法求逆元。
我们知道满足这样的式子就可以说b和b^-1互为逆元。我们将逆元b-1设为x得到
将模意义下转化成一般意义下。
因为逆元存在的条件就是b和m互质，所以gcd(b, m) = 1，如上式子是必定满足的，随后就可以使用扩展欧几里得算法求x（不过不要忘记最后要再将x转化回模意义下哦）
中国剩余定理
中国剩余定理是用来解决这样的问题的，给定一个线性同余方程组（其中m1, m2, ... , mn两两互质）：
x = a1 mod m1
x = a2 mod m2.
.
.
x = an mod mn
要求x，我们设
M = m1 * m2 * ... * mn
设
M1 = M/mi
因为M1与m1是互质的，所以M1必定存在m1下的逆元m1^-1，同理，其他项也是一样
最终我们可以得到
x = a1 * M1 * M1-1 + a2 * M2 * M2-2 + ...
具体如何推导的我不得而知，但是我们可以判断其是否正确，当x mod m1时：因为m2, m3, m4...均包含m1，所以后面的所有项结果都是0
第一项的M1 * M1-1在模m1的意义下结果是1，所以x mod m1 = a1。