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算法训练营第二十九天 | 动态规划（二）

news 来源：原创 2025/5/25 10:51:53

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一、Leetcode 62.不同路径
二、Leetcode 63. 不同路径 II

一、Leetcode 62.不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？
示例：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

引用：

原文链接：https://programmercarl.com/0062.%E4%B8%8D%E5%90%8C%E8%B7%AF%E5%BE%84.html
题目链接：https://leetcode.cn/problems/unique-paths/description/
视频讲解：https://www.bilibili.com/video/BV1ve4y1x7Eu/

确定 dp 数组以及下标的含义：
本题的数组定义为，走到位置 [i][j] 共有 dp[i][j] 条路径。

确定递推公式：
移动到当前位置，可以由当前位置的上面的位置向下移动，也可以从左面的位置向右移动。移动到当前位置有两个选择，所以 dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]。

dp 数组初始化:
每次只能向下或者向右移动一步。我们第一行和第一列的位置没法通过递推公式来确定，所以我们需要对第一行和第一列的所有位置都进行初始化。

由于第一行的所有位置，只能是向右移动而来，所以dp数组中的第一行都要初始化为 1。

同理，第一列的所有位置也都要初始化为 1。

遍历顺序：
这里的 dp 数组是二维的，所以需要两次循环。我们当前状态是通过之前的状态递推而来，所以遍历顺序就是从上到下，从左到右。

代码：

class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        # 创建一个二维列表用于存储唯一路径数
        dp = [[0] * n for _ in range(m)]
        
        # 设置第一行和第一列的基本情况
        for i in range(m):
            dp[i][0] = 1
        for j in range(n):
            dp[0][j] = 1
        
        # 计算每个单元格的唯一路径数
        for i in range(1, m):
            for j in range(1, n):
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]
        
        # 返回右下角单元格的唯一路径数
        return dp[m - 1][n - 1]

二、Leetcode 63. 不同路径 II

给定一个 m x n 的整数数组 grid。一个机器人初始位于 左上角（即 grid[0][0]）。机器人尝试移动到 右下角（即 grid[m - 1][n - 1]）。机器人每次只能向下或者向右移动一步。

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。机器人的移动路径中不能包含任何有障碍物的方格。

返回机器人能够到达右下角的不同路径数量。

测试用例保证答案小于等于 2 * 109。

示例：

输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
输出：2
解释：3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：
1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

引用：

原文链接：https://programmercarl.com/0063.%E4%B8%8D%E5%90%8C%E8%B7%AF%E5%BE%84II.html
题目链接：https://leetcode.cn/problems/unique-paths-ii/description/
视频讲解：https://www.bilibili.com/video/BV1Ld4y1k7c6/

本题上一题目大致差不多。

确定 dp 数组以及下标的含义：
本题的数组定义为，走到位置 [i][j] 共有 dp[i][j] 条路径。和上一题一样。

但是本题中出现了障碍物，障碍物是无法到达的。所以障碍物对应在dp数组中的位置不需要进行递推。

代码如下：

if obstacleGrid[i][j] == 0:
    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]

dp 数组初始化:
障碍物的位置我们是无法到达的，所以障碍物位置我们要初始化为 0，这就说明到达这个位置共有 0 个路径，也就是没有路径。

第一行和第一列的所有位置都要初始化为 1，如果第一行中某一个位置出现了障碍物，那么第一行后续的位置都要初始化为 0，因为根据移动的规则，后续的位置都是无法到达的。

同理，第一列也是同样的初始化操作。

遍历顺序：
这里的 dp 数组是二维的，所以需要两次循环。我们当前状态是通过之前的状态递推而来，所以遍历顺序就是从上到下，从左到右。

代码：

class Solution:
    def uniquePathsWithObstacles(self, obstacleGrid: List[List[int]]) -> int:
        m = len(obstacleGrid)
        n = len(obstacleGrid[0])
        if obstacleGrid[m - 1][n - 1] == 1 or obstacleGrid[0][0] == 1:
            return 0
        dp = [[0] * n for _ in range(m)]
        for i in range(m):
            if obstacleGrid[i][0] == 0:  # 遇到障碍物时，直接退出循环，后面默认都是0
                dp[i][0] = 1
            else:
                break
        for j in range(n):
            if obstacleGrid[0][j] == 0:
                dp[0][j] = 1
            else:
                break

        for i in range(1, m):
            for j in range(1, n):
                if obstacleGrid[i][j] == 0:
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]

        return dp[m - 1][n - 1]