UA OPTI512R 傅立叶光学导论19 菲涅尔衍射

wuchangjian2021-11-12 03:43:57编程学习

UA OPTI512R 傅立叶光学导论19 菲涅尔衍射

    • Fresnel衍射的Small Angle Approximation方法
      • Fresnel衍射的卷积表示
      • Fresnel衍射的Fourier方法

惠更斯-菲涅尔原理给出了波的传播公式:
U z ( x , y ) = ∬ − ∞ + ∞ P ( x ′ , y ′ ) U 0 ( x ′ , y ′ ) z j λ r e j k r r d x ′ d y ′ U_z(x,y) = \iint_{-\infty}^{+\infty} P(x',y')U_0(x',y') \frac{z}{j \lambda r}\frac{e^{j k r}}{r} dx'dy' Uz(x,y)=+P(x,y)U0(x,y)jλrzrejkrdxdy

现在我们引入transmission function P ( x ′ , y ′ ) P(x',y') P(x,y),它用来表示透光区域的形状,比如在传播过程中,我们在 z = 0 z=0 z=0处加盖上一块只有一个半径为 a a a的透光小孔的遮光板(相当于考虑单孔衍射的设定),那么 P ( x ′ , y ′ ) = 1 , x ′ 2 + y ′ 2 < a P(x',y')=1,x'^2+y'^2 < a P(x,y)=1,x2+y2<a P ( x ′ , y ′ ) = 0 , x ′ 2 + y ′ 2 > a P(x',y')=0,x'^2+y'^2 >a P(x,y)=0,x2+y2>a。此时波的传播规律为
U z ( x , y ) = ∬ − ∞ + ∞ P ( x ′ , y ′ ) U 0 ( x ′ , y ′ ) z j λ r e j k r r d x ′ d y ′ U_z(x,y) = \iint_{-\infty}^{+\infty} P(x',y')U_0(x',y') \frac{z}{j \lambda r}\frac{e^{j k r}}{r} dx'dy' Uz(x,y)=+P(x,y)U0(x,y)jλrzrejkrdxdy

u 1 = P U 0 , u 2 = U z u_1=PU_0,u_2=U_z u1=PU0,u2=Uz,则
u 2 ( x 2 , y 2 ) = ∬ − ∞ + ∞ u 1 ( x 1 , y 1 ) z j λ r e j k r r d x 1 d y 1 r = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 + z 2 , cos ⁡ ( θ ) = z / r u_2(x_2,y_2) = \iint_{-\infty}^{+\infty}u_1(x_1,y_1)\frac{z}{j \lambda r}\frac{e^{j k r}}{r} dx_1dy_1 \\r=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+z^2},\cos(\theta)=z/r u2(x2,y2)=+u1(x1,y1)jλrzrejkrdx1dy1r=(x2x1)2+(y2y1)2+z2 ,cos(θ)=z/r

其中 θ \theta θ表示空间中点 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)的位移与 z z z轴正方向的夹角。

在这里插入图片描述

考虑沿 z z z轴传播的波,假设 z = 0 z=0 z=0处有一个小孔,当传播距离 z z z较小时(比如波长 λ \lambda λ的几十倍或者几百倍),这个区域被称为near-field;传播距离 z z z相对小孔的孔径非常大时, θ → 0 \theta \to 0 θ0,这个区域叫Fresnel region;当 z z z非常大( z > > λ z>>\lambda z>>λ)时, z / λ → ∞ z/\lambda \to \infty z/λ,这个区域叫far-field或者Fraunhofer region。


Fresnel衍射的Small Angle Approximation方法

在这里插入图片描述

x 2 − x 1 , y 2 − y 1 x_2-x_1,y_2-y_1 x2x1,y2y1相对 z z z足够小时, z ≈ r z \approx r zr
z j λ r e j k r r ≈ 1 j λ z e j k r \frac{z}{j\lambda r} \frac{e^{jkr}}{r} \approx \frac{1}{j\lambda z}e^{jkr} jλrzrejkrjλz1ejkr

用Taylor近似
r = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 + z 2 = z 1 + ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 z 2 ≈ z ( 1 + 1 2 ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 z 2 − 1 8 ( ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 z 2 ) 2 ) \begin{aligned} r & =\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+z^2} \\ & = z \sqrt{1+\frac{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}{z^2}} \\ &\approx z \left( 1+\frac{1}{2}\frac{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}{z^2} -\frac{1}{8} \left( \frac{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}{z^2} \right)^2\right)\end{aligned} r=(x2x1)2+(y2y1)2+z2 =z1+z2(x2x1)2+(y2y1)2 z(1+21z2(x2x1)2+(y2y1)281(z2(x2x1)2+(y2y1)2)2)

k k k表示波数,当
k z 8 ( ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 z 2 ) 2 < < 1 \frac{kz}{8} \left( \frac{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}{z^2} \right)^2<<1 8kz(z2(x2x1)2+(y2y1)2)2<<1

时(这个条件等价于 z 3 > > π 4 λ ( L 1 + L 2 ) 4 z^3>>\frac{\pi}{4 \lambda}(L_1+L_2)^4 z3>>4λπ(L1+L2)4),可以只用一阶近似。在波的传播公式中使用这个近似,
z j λ r e j k r r ≈ 1 j λ z e j k r ≈ 1 j λ z e j k ( z + 1 2 z [ ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 ] ) , k = 2 π λ u 2 ( x 2 , y 2 ) = ∬ − ∞ + ∞ u 1 ( x 1 , y 1 ) z j λ r 2 e j k r ⏟ s p h e r i c a l   w a v e f r o n t d x 1 d y 1 = e j k z j λ z ∬ − ∞ + ∞ u 1 ( x 1 , y 1 ) e j π λ z [ ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 ] ⏟ q u a d r a c t i c   w a v e f r o n t d x 1 d y 1 \frac{z}{j\lambda r} \frac{e^{jkr}}{r} \approx \frac{1}{j\lambda z}e^{jkr} \approx \frac{1}{j\lambda z} e^{jk(z+\frac{1}{2z}[(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2])},k=\frac{2 \pi}{\lambda} \\ u_2(x_2,y_2) = \iint_{-\infty}^{+\infty}u_1(x_1,y_1)\frac{z}{j \lambda r^2}\underbrace{e^{jkr}}_{spherical\ wavefront} dx_1dy_1 \\ =\frac{e^{jkz}}{j\lambda z} \iint_{-\infty}^{+\infty}u_1(x_1,y_1) \underbrace{e^{j \frac{\pi}{\lambda z}[(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2]}}_{quadractic\ wavefront}dx_1dy_1 jλrzrejkrjλz1ejkrjλz1ejk(z+2z1[(x2x1)2+(y2y1)2]),k=λ2πu2(x2,y2)=+u1(x1,y1)jλr2zspherical wavefront ejkrdx1dy1=jλzejkz+u1(x1,y1)quadractic wavefront ejλzπ[(x2x1)2+(y2y1)2]dx1dy1

也就是说上述近似的本质是用二次波前近似球面波
在这里插入图片描述

在后续学习中,我们会发现Fraunhofer就是用平面波来近似
在这里插入图片描述

Fresnel衍射的卷积表示

在这里插入图片描述

Fresnel衍射的Fourier方法

在这里插入图片描述

发表评论    

◎欢迎参与讨论,请在这里发表您的看法、交流您的观点。