UA OPTI512R 傅立叶光学导论15 2-D Fourier变换与Hankel变换

wuchangjian2021-11-03 05:22:02编程学习

UA OPTI512R 傅立叶光学导论15 2-D Fourier变换与Hankel变换

    • 2-D Fourier变换的定义
    • 2-D Fourier变换的性质
    • 极坐标系中的2-D Fourier变换
    • Hankel变换

2-D Fourier变换的定义

定义 2-D Fourier变换
F ( ξ , η ) = F [ f ( x , y ) ] = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) e − j 2 π ( ξ x + η y ) d x d y F(\xi,\eta)=\mathcal{F}[f(x,y)]=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)e^{-j 2 \pi (\xi x+\eta y)}dxdy F(ξ,η)=F[f(x,y)]=+f(x,y)ej2π(ξx+ηy)dxdy

2-D Fourier逆变换
f ( x , y ) = F − 1 [ F ( ξ , η ) ] = ∫ − ∞ + ∞ F ( ξ , η ) e j 2 π ( ξ x + η y ) d ξ d η f(x,y)=\mathcal{F}^{-1}[F(\xi,\eta)]=\int_{-\infty}^{+\infty} F(\xi , \eta)e^{j 2 \pi (\xi x+\eta y)}d\xi d \eta f(x,y)=F1[F(ξ,η)]=+F(ξ,η)ej2π(ξx+ηy)dξdη

这个定义要推广到 N N N维也是很容易的,
F ( ξ ⃗ ) = F [ f ( x ⃗ ) ] = ∫ − ∞ + ∞ f ( x ⃗ ) e − j 2 π ξ ⃗ ⋅ x ⃗ d x ⃗ f ( x ⃗ ) = F − 1 [ F ( ξ ⃗ ) ] = ∫ − ∞ + ∞ F ( ξ ⃗ ) e j 2 π ξ ⃗ ⋅ x ⃗ d ξ ⃗ F(\vec \xi)=\mathcal{F}[f(\vec x)]=\int_{-\infty}^{+\infty} f(\vec x)e^{-j 2 \pi \vec \xi \cdot \vec x}d\vec x \\ f(\vec x)=\mathcal{F}^{-1}[F(\vec \xi)]=\int_{-\infty}^{+\infty} F(\vec \xi)e^{j 2 \pi \vec \xi \cdot \vec x}d\vec \xi F(ξ )=F[f(x )]=+f(x )ej2πξ x dx f(x )=F1[F(ξ )]=+F(ξ )ej2πξ x dξ

例1 可分函数(separable function):
f ( x , y ) = g ( x ) h ( y ) f(x,y)=g(x)h(y) f(x,y)=g(x)h(y)

它的Fourier变换为
F ( ξ , η ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) e − j 2 π ( ξ x + η y ) d x d y = ∫ − ∞ + ∞ g ( x ) h ( y ) e − j 2 π ( ξ x + η y ) d x d y = ( ∫ − ∞ + ∞ g ( x ) e − j 2 π ξ x d x ) ( ∫ − ∞ + ∞ h ( y ) e − j 2 π η y d y ) = F [ g ( x ) ] F [ h ( y ) ] \begin{aligned} F(\xi,\eta) & =\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)e^{-j 2 \pi (\xi x+\eta y)}dxdy \\ & = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x)h(y)e^{-j 2 \pi (\xi x+\eta y)}dxdy \\ & = \left( \int_{-\infty}^{+\infty} g(x)e^{-j 2 \pi \xi x}dx \right) \left( \int_{-\infty}^{+\infty} h(y)e^{-j 2 \pi \eta y}dy \right) \\ & = \mathcal{F}[g(x)]\mathcal{F}[h(y)]\end{aligned} F(ξ,η)=+f(x,y)ej2π(ξx+ηy)dxdy=+g(x)h(y)ej2π(ξx+ηy)dxdy=(+g(x)ej2πξxdx)(+h(y)ej2πηydy)=F[g(x)]F[h(y)]

对于一般函数,
F ( ξ , η ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) e − j 2 π ( ξ x + η y ) d x d y = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) e − j 2 π ( ξ x + η y ) d x d y = ∫ − ∞ + ∞ ( ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) e − j 2 π ξ x d x ) e − j 2 π η y d y = F y [ F x [ f ( x , y ) ] ] \begin{aligned} F(\xi,\eta) & =\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)e^{-j 2 \pi (\xi x+\eta y)}dxdy \\ & = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)e^{-j 2 \pi (\xi x+\eta y)}dxdy \\ & = \int_{-\infty}^{+\infty}\left( \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)e^{-j 2 \pi \xi x}dx \right) e^{-j 2 \pi \eta y}dy \\ & = \mathcal{F}_y[\mathcal{F}_x[f(x,y)]]\end{aligned} F(ξ,η)=+f(x,y)ej2π(ξx+ηy)dxdy=+f(x,y)ej2π(ξx+ηy)dxdy=+(+f(x,y)ej2πξxdx)ej2πηydy=Fy[Fx[f(x,y)]]

也就是说多元函数的Fourier变换是可以序贯地对每个变量做Fourier变换的。

2-D Fourier变换的性质

性质原函数Fourier变换
Scaling f ( a x , b y ) f(ax,by) f(ax,by) 1 a b F ( ξ / a , η / b ) , a b > 0 ; − 1 a b F ( ξ / a , η / b ) , a b < 0 \frac{1}{ab}F(\xi/a,\eta/b),ab>0; -\frac{1}{ab}F(\xi/a,\eta/b),ab<0 ab1F(ξ/a,η/b),ab>0;ab1F(ξ/a,η/b),ab<0
Shifting f ( x − x 0 , y − y 0 ) f(x-x_0,y-y_0) f(xx0,yy0) e − j 2 π ( ξ x 0 + η y 0 ) F ( ξ , η ) e^{-j2 \pi (\xi x_0+\eta y_0)}F(\xi ,\eta) ej2π(ξx0+ηy0)F(ξ,η)
卷积定理 f ( x , y ) ∗ h ( x , y ) f(x,y)*h(x,y) f(x,y)h(x,y) F ( ξ , η ) H ( ξ , η ) F(\xi,\eta)H(\xi,\eta) F(ξ,η)H(ξ,η)
卷积定理(频域) F ( ξ , η ) ∗ H ( ξ , η ) F(\xi,\eta)*H(\xi,\eta) F(ξ,η)H(ξ,η) f ( x , y ) h ( x , y ) f(x,y)h(x,y) f(x,y)h(x,y)

其中2-D卷积的定义是
f ( x , y ) ∗ h ( x , y ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( α , β ) h ( x − α , y − β ) d α d β f(x,y)*h(x,y)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(\alpha,\beta)h(x-\alpha,y-\beta)d \alpha d \beta f(x,y)h(x,y)=+f(α,β)h(xα,yβ)dαdβ

极坐标系中的2-D Fourier变换

从定义出发,用二重积分的换元公式得到极坐标系中的2-D Fourier变换,
F ( ξ , η ) = F [ f ( x , y ) ] = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) e − j 2 π ( ξ x + η y ) d x d y F(\xi,\eta)=\mathcal{F}[f(x,y)]=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)e^{-j 2 \pi (\xi x+\eta y)}dxdy F(ξ,η)=F[f(x,y)]=+f(x,y)ej2π(ξx+ηy)dxdy

( x , y ) (x,y) (x,y)变换到极坐标 ( r , θ ) (r,\theta) (r,θ)中,将 ( ξ , η ) (\xi,\eta) (ξ,η)变换到极坐标 ( ρ , ϕ ) (\rho,\phi) (ρ,ϕ)中,即
{ x = r cos ⁡ θ y = r sin ⁡ θ , { ξ = ρ cos ⁡ ϕ η = ρ sin ⁡ ϕ \begin{cases} x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \end{cases},\begin{cases} \xi = \rho \cos \phi \\ \eta = \rho \sin \phi \end{cases} {x=rcosθy=rsinθ,{ξ=ρcosϕη=ρsinϕ

所以
x ξ + y η = r ρ ( cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ + sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ ) = r ρ cos ⁡ ( θ − ϕ ) x \xi + y \eta = r \rho(\cos \theta \cos \phi + \sin \theta \sin \phi) = r \rho \cos(\theta -\phi) xξ+yη=rρ(cosθcosϕ+sinθsinϕ)=rρcos(θϕ)

Jacobian为
∣ ∂ x ∂ r ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ r ∂ y ∂ θ ∣ = ∣ cos ⁡ θ r sin ⁡ θ sin ⁡ θ − r cos ⁡ θ ∣ = − r \left| \begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{matrix} \right|=\left| \begin{matrix} \cos \theta & r \sin \theta \\ \sin \theta& -r \cos \theta\end{matrix} \right|=-r rxryθxθy=cosθsinθrsinθrcosθ=r

因此,对 f ( x , y ) = f ( x ( r , θ ) , y ( r , θ ) ) f(x,y)=f(x(r,\theta),y(r,\theta)) f(x,y)=f(x(r,θ),y(r,θ))根据积分换元公式
F ( ρ , ϕ ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) e − j 2 π ( ξ x + η y ) d x d y = ∫ 0 2 π ∫ 0 + ∞ r f ( r , θ ) e − j 2 π r ρ cos ⁡ ( θ − ϕ ) d r d θ \begin{aligned} F(\rho,\phi)&=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)e^{-j 2 \pi (\xi x+\eta y)}dxdy \\ & =\int_0^{2\pi} \int_{0}^{+\infty} rf(r,\theta)e^{-j 2 \pi r \rho \cos(\theta - \phi)}dr d \theta \end{aligned} F(ρ,ϕ)=+f(x,y)ej2π(ξx+ηy)dxdy=02π0+rf(r,θ)ej2πrρcos(θϕ)drdθ

这就是极坐标中的函数 f ( r , θ ) f(r,\theta) f(r,θ)的Fourier变换公式。

Hankel变换

对于任意极坐标系中的函数 f ( r , θ ) f(r,\theta) f(r,θ),它可以展开为
f ( r , θ ) = ∑ k = − ∞ + ∞ f k ( r ) e j k θ f(r,\theta)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} f_k(r)e^{jk\theta} f(r,θ)=k=+fk(r)ejkθ

它的Fourier变换为
F ( ρ , ϕ ) = ∫ 0 2 π ∫ 0 + ∞ r f ( r , θ ) e − j 2 π r ρ cos ⁡ ( θ − ϕ ) d r d θ = 2 π ∑ k = − ∞ + ∞ ( − j ) k e j k ϕ H k [ f k ( r ) ] \begin{aligned} F(\rho,\phi)&=\int_0^{2\pi} \int_{0}^{+\infty} rf(r,\theta)e^{-j 2 \pi r \rho \cos(\theta - \phi)}dr d \theta \\ & =2\pi \sum_{k=-\infty}^{+\infty} (-j)^k e^{jk\phi} \mathcal{H}_k[f_k(r)]\end{aligned} F(ρ,ϕ)=02π0+rf(r,θ)ej2πrρcos(θϕ)drdθ=2πk=+(j)kejkϕHk[fk(r)]

假设 f ( r , θ ) f(r,\theta) f(r,θ)是极坐标系中的可分函数,即
f ( r , θ ) = f R ( r ) f Θ ( θ ) f(r,\theta)=f_R(r)f_{\Theta}(\theta) f(r,θ)=fR(r)fΘ(θ)

则它的展开式中 f k = f R f_k=f_R fk=fR,Fourier变换为
F ( ρ , ϕ ) = ∑ k = − ∞ + ∞ c k ( − j ) k e j k ϕ H k [ f R ( r ) ] \begin{aligned} F(\rho,\phi) & = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_k (-j)^k e^{jk\phi} \mathcal{H}_k[f_R(r)]\end{aligned} F(ρ,ϕ)=k=+ck(j)kejkϕHk[fR(r)]

这里 c k c_k ck表示Fourier级数展开的系数,
c k = 1 2 π ∫ 0 2 π f Θ ( θ ) e − j k θ d θ c_k=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f_{\Theta}(\theta)e^{-jk\theta}d \theta ck=2π102πfΘ(θ)ejkθdθ

H k \mathcal{H}_k Hk表示 k k k阶Hankel变换,
H k [ f R ( r ) ] = 2 π ∫ 0 + ∞ r f R ( r ) J k ( 2 π r ρ ) d r \mathcal{H}_k[f_R(r)]=2 \pi \int_0^{+\infty} r f_R(r)J_k(2 \pi r \rho) dr Hk[fR(r)]=2π0+rfR(r)Jk(2πrρ)dr

其中 J k J_k Jk表示 k k k阶第一类Bessel函数。

Radially Symmetric Function
假设极坐标系中的可分函数满足 f Θ = 1 f_{\Theta}=1 fΘ=1,就称其为Radially Symmetric Function,它的Fourier变换为
F ( ρ , ϕ ) = ∫ 0 2 π ∫ 0 + ∞ r f ( r , θ ) e − j 2 π r ρ cos ⁡ ( θ − ϕ ) d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 + ∞ r f R ( r ) e − j 2 π r ρ cos ⁡ ( θ − ϕ ) d r d θ \begin{aligned} F(\rho,\phi)&=\int_0^{2\pi} \int_{0}^{+\infty} rf(r,\theta)e^{-j 2 \pi r \rho \cos(\theta - \phi)}dr d \theta \\ & =\int_0^{2\pi} \int_{0}^{+\infty} rf_R(r)e^{-j 2 \pi r \rho \cos(\theta - \phi)}dr d \theta\end{aligned} F(ρ,ϕ)=02π0+rf(r,θ)ej2πrρcos(θϕ)drdθ=02π0+rfR(r)ej2πrρcos(θϕ)drdθ

因为
J 0 ( 2 π r ρ ) = 1 2 π ∫ 0 2 π e − j 2 π r ρ cos ⁡ ( θ − ϕ ) d θ J_0(2 \pi r\rho )=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} e^{-j 2 \pi r \rho \cos(\theta - \phi)} d \theta J0(2πrρ)=2π102πej2πrρcos(θϕ)dθ

用Fubini定理,
F ( ρ , ϕ ) = F ( ρ ) = 2 π ∫ 0 + ∞ r f R ( r ) J 0 ( 2 π r ρ ) d r F(\rho,\phi)=F(\rho)=2 \pi \int_0^{+\infty}r f_R(r) J_0(2 \pi r \rho)d r F(ρ,ϕ)=F(ρ)=2π0+rfR(r)J0(2πrρ)dr

这个变换为0阶Hankel变换,也被称为Fourier-Bessel变换,它的逆变换为
f R ( r ) = 2 π ∫ 0 + ∞ ρ F ( ρ ) J 0 ( 2 π r ρ ) d ρ f_R(r)=2 \pi \int_0^{+\infty}\rho F(\rho)J_0(2 \pi r \rho)d \rho fR(r)=2π0+ρF(ρ)J0(2πrρ)dρ

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