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第一章 强化学习基础与核心概念

1.1 强化学习的定义与特点

强化学习（Reinforcement Learning, RL）是机器学习三大范式之一（监督学习、无监督学习、强化学习），其核心思想是通过智能体（Agent）与环境（Environment）的持续交互来学习最优策略。与监督学习需要带标签的训练数据不同，强化学习通过试错机制（Trial-and-Error）和奖励信号（Reward Signal）来指导学习过程。

关键特征包括：

• 延迟奖励：智能体的动作可能在未来多个时间步后才获得反馈
• 序列决策：决策之间存在时间相关性，当前动作影响后续状态
• 探索与利用平衡：在尝试新动作（探索）与执行已知最优动作（利用）间保持平衡
• 在线学习：通过与环境的实时交互进行学习

1.2 强化学习基本框架

强化学习系统由以下核心要素构成：

1. 智能体（Agent）：学习主体，负责做出决策
2. 环境（Environment）：智能体交互的对象，提供状态和奖励
3. 状态（State）：对环境的完整描述，记为$s\in \mathcal{S}$
4. 动作（Action）：智能体可执行的操作，记为$a\in \mathcal{A}$
5. 策略（Policy）：行为函数$\pi (a|s)$，定义在给定状态下选择动作的概率分布
6. 奖励（Reward）：环境反馈的即时信号$r=R(s,a,s^{\prime })$
7. 价值函数（Value Function）：长期回报的预测$V^{\pi }(s)$或$Q^{\pi }(s,a)$
8. 环境模型（Model）：可选组件，用于预测状态转移和奖励

数学表示为马尔可夫决策过程（Markov Decision Process, MDP）五元组：
$$⟨\mathcal{S},\mathcal{A},\mathcal{P},\mathcal{R},\gamma ⟩$$
其中：

• $\mathcal{P}$为状态转移概率$P(s^{\prime }|s,a)$
• $\mathcal{R}$为奖励函数$R(s,a,s^{\prime })$
• $\gamma \in [0,1]$为折扣因子

1.3 强化学习主要算法分类

根据不同的学习策略，强化学习算法可分为：

类别	特点	代表算法
基于价值（Value-Based）	学习价值函数，通过价值选择动作	Q-Learning, SARSA
基于策略（Policy-Based）	直接优化策略函数	REINFORCE, PPO
Actor-Critic	结合价值函数和策略函数	A3C, SAC
模型基础（Model-Based）	建立环境模型进行规划	Dyna-Q, MCTS

1.4 时序差分学习（Temporal Difference）

SARSA属于时序差分学习算法，结合了蒙特卡洛方法和动态规划的优点：

• 蒙特卡洛特性：从实际经验中学习，不需要环境模型
• 动态规划特性：基于现有估计进行增量更新（自举法）

TD学习更新公式：
$$V(s_t)\leftarrow V(s_t)+\alpha [r_{t+1}+\gamma V(s_{t+1})-V(s_t)]$$
其中$\alpha$为学习率，$\gamma$为折扣因子

1.5 SARSA算法定位

SARSA（State-Action-Reward-State-Action）是一种on-policy的TD控制算法：

• On-policy：使用当前策略生成样本并更新同一策略
• TD控制：通过TD误差更新动作价值函数$Q(s,a)$
• 五元组更新：需要$(s_t,a_t,r_{t+1},s_{t+1},a_{t+1})$进行更新

与Q-Learning的关键区别：
$$\text{SARSA: }Q(s,a)\leftarrow Q(s,a)+\alpha [r+\gamma Q(s^{\prime },a^{\prime })-Q(s,a)]$$
$$\text{Q-Learning: }Q(s,a)\leftarrow Q(s,a)+\alpha [r+\gamma \underset{a^{\prime }}{\max }Q(s^{\prime },a^{\prime })-Q(s,a)]$$

第二章 SARSA算法的数学原理与推导

2.1 马尔可夫决策过程（MDP）回顾

SARSA算法的理论基础建立在马尔可夫决策过程之上。MDP的核心性质是马尔可夫性：
$$P(s_{t+1}|s_t,a_t)=$$