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4.张量并行

和流水线并行类似，张量并行也是将模型分解放置到不同的GPU上，以解决单块GPU无法储存整个模型的问题。和流水线并行不同的地方在于，张量并行是针对模型中的张量进行拆分，将其放置到不同的GPU上。

1.简述

模型并行是不同设备负责单个计算图不同部分的计算。而将计算图中的层内的参数（张量）切分到不同设备（即层内并行），每个设备只拥有模型的一部分，以减少内存负荷，我们称之为张量模型并行。

张量并行从数学原理上来看就是对于linear层就是把矩阵分块进行计算，然后把结果合并；对于非linear层，则不做额外设计。

2.张量并行方式

张量切分方式分为按行进行切分和按列进行切分，分别对应行并行（Row Parallelism）与列并行（Column Parallelism）。

下面用通用矩阵的矩阵乘法（GEMM）来进行示例，看看线性层如何进行模型并行。假设 Y = XA ，对于模型来说，X 是输入，A是权重，Y是输出。

2.1 行并行

行并行就是把权重 A 按照行分割成两部分。为了保证运算，同时我们也把 X 按照列来分割为两部分，具体如下所示：

$$XA=\left[\begin{array}{ll}X1& X2\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}A1\\ A2\end{array}\right]=X1A1+X2A2=Y1+Y2=Y$$

这样，X1 和 A1 就可以放到 GPU0 之上计算得出 Y1，，X2 和 A2 可以放到第二个 GPU1 之上计算得出 Y2，然后，把Y1和Y2结果相加，得到最终的输出Y。

2.2 列并行

列并行就是把 A按照列来分割，具体示例如下：

$$XA=[X]\left[\begin{array}{ll}A1& A2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}XA1& XA2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}Y1& Y2\end{array}\right]=Y$$

这样，将 X 分别放置在GPU0 和GPU1，将 A1 放置在 GPU0，将 A2 放置在 GPU1，然后分别进行矩阵运行，最终将2个GPU上面的矩阵拼接在一起，得到最终的输出Y。

3. 1维（1D）张量并行（Megatron-LM）

张量并行则涉及到不同的分片 (sharding)方法，现在最常用的都是 1D 分片，即将张量按照某一个维度进行划分（横着切或者竖着切）。

目前，在基于Transformer架构为基础的大模型中，最常见的张量并行方案由Megatron-LM提出，它是一种高效的一维（1D）张量并行实现。它采用的则是非常直接的张量并行方式，对权重进行划分后放至不同GPU上进行计算。

如下图所示，对于一个基于 Transformer 结构的模型来说，主要由一个 N 层 Transformer 块组成，除此之外还有输入和输出 Embedding 层。

而一个 Transformer 层里面主要由由自注意力（Self-Attention）和 MLP 组成。因此，本方案主要针对多头注意力（MHA）块和MLP块进行切分进行模型并行。

对于 MLP 层切分相对来说比较简单，该层主要由一个GELU是激活函数，以及 A 和 B 两个线性层组成。其中，f 和 g 分别表示两个算子，每个算子都包含一组forward + backward 操作。f 和 g 是共轭的。

在MLP层中，先对A采用“列切割”，然后对B采用“行切割” 。

• f 的 forward 计算：把输入X拷贝到两块GPU上，每块GPU即可独立做forward计算。
• g 的 forward 计算：每块GPU上的forward的计算完毕，取得Z1和Z2后，GPU间做一次AllReduce，相加结果产生Z。
• g 的 backward 计算：只需要把$\frac{\partial L}{\partial Z}$拷贝到两块GPU上，两块GPU就能各自独立做梯度计算。
• f 的 backward 计算：当前层的梯度计算完毕，需要传递到下一层继续做梯度计算时，我们需要求得 $\frac{\partial L}{\partial X}$。则此时两块GPU做一次AllReduce，把各自的梯度 $\frac{\partial L}{\partial X_1}$和 $ \frac{\partial L}{\partial X_2} $相加即可。

对于 MHA 层进行切分稍微会复杂一点。一个MHA层由多个自注意力块组成。每个自注意力头都可以独立计算，最后，再将结果拼接（concat）起来。也就是说，可以把每个头的参数放到一块GPU上。

在 MHA 层，对三个参数矩阵Q，K，V，按照“列切割” ，每个头放到一块GPU上，做并行计算。对线性层B，按照“行切割” 。切割的方式和 MLP 层基本一致，其forward与backward原理也一致，这里不再赘述。

最后，在实际应用中，并不一定按照一个head占用一块GPU来切割权重，我们也可以一个多个head占用一块GPU，这依然不会改变单块GPU上独立计算的目的。所以实际设计时，我们尽量保证head总数能被GPU个数整除**。** ​

现在，将 MLP 与 MHA 块放置在一起，一个 Transformer 层的张量模型并行如下所示：

可以看到，一个 Transformer 层的正向和反向传播中总共有 4 个 All-Reduce 通信操作。

上面提到了对于一个 Transformer 结构的模型来说，通常，还有一个输入Embeding和一个输出Embeding层，其维数为 (v, h)，其中，h表示隐藏大小，v表示词汇量大小。

由于现代语言模型的词汇量约为数万个（例如，GPT-2使用的词汇量为50257），因此，将 Embeding 层 GEMM 进行并行化是非常有益的。然而，在Transformer语言模型中，为了节约内存，通常输出 Embeding 层与输入 Embeding 层共享权重，因此，需要对两者进行修改。

在Embbedding层，按照词的维度切分，即每张卡只存储部分词向量表，然后，通过 All Gather 汇总各个设备上的部分词向量结果，从而得到完整的词向量结果

在 Megatron-LM 中，通过如下方法来初始化张量并行、流水线并行以及数据并行组。

from megatron.core import mpu, tensor_parallelmpu.initialize_model_parallel(args.tensor_model_parallel_size,args.pipeline_model_parallel_size,args.virtual_pipeline_model_parallel_size,args.pipeline_model_parallel_split_rank)

在给定 P 个处理器的情况下，下面为理论上的计算和内存成本，以及基于环形（ring）算法的1D 张量并行的前向和后向的通信成本。

计算	内存 (参数)	内存 (activations)	通信 (带宽)	通信 (时延)
O(1/P)	O(1/P)	O(1)	O(2(P−1)/P)	O(2(P−1))

4.多维张量并行

英伟达Megatron-LM的张量并行本质上使用的是 1 维矩阵划分，这种方法虽然将参数划分到多个处理器上，但每个处理器仍需要存储整个中间激活，在处理大模型时会浪费大量显存空间。此外，由于仅采用1维矩阵划分，在每次计算中，每个处理器都需要与其他所有处理器进行通信，因此，通信成本会随并行度增高而激增。

显然，1 维张量并行已无法满足当前超大AI模型的需求。对此，Colossal-AI 提供多维张量并行，即以 2/2.5/3 维方式进行张量并行。

4.1 2D张量并行

Megatron中的 1D 张量并行方案并没有对激活（activations）进行划分，对于大模型而言，这也会消耗大量的内存。

为了平均分配计算和内存负荷，在 SUMMA 算法（一种可扩展的通用矩阵乘法算法，并行实现矩阵乘法）的基础上， 2D 张量并行 被引入。它把 input 和 weight 都沿着两个维度均匀切分。

这里还是以线性层 $Y=XA$为例。给定$P=q\times q$个处理器（必要条件），如果$q=2$，我们把输入$X$和权重$A$都划分为：

$$\left[\begin{array}{ll}{X}_{00}& X_{01}\\ X_{10}& X_{11}\end{array}\right]和\left[\begin{array}{ll}{A}_{00}& A_{01}\\ A_{10}& A_{11}\end{array}\right]$$

该计算包括$q$步。

当$t=1$时，即第一步，$X_{i0}$ (即: $\left[\begin{array}{l}{X}_{00}\\ X_{10}\end{array}\right]$)在其行中被广播，而$A_{0j}$（即：$\left[\begin{array}{ll}{A}_{00}& A_{01}\end{array}\right]$）在其列中被广播。因此，我们有

$$[\begin{array}{ll}{X}_{00},A_{00}& X_{00},A_{01}\\ X_{10},A_{00}& \end{array}$$