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第一题：209. 长度最小的子数组 - 力扣（LeetCode）

解题思路

本题要求找出一个连续子数组 ，其总和≥target ，且长度最小 。由于数组中元素均为正整数，可以使用滑动窗口法 高效求解，时间复杂度为 O(n)。以下是核心思路：

核心思想

1. 滑动窗口法 ：利用两个指针（left 和 right）表示窗口的左右边界。窗口内的元素和 sum 逐步调整，确保每次操作都能有效缩小搜索范围。
2. 窗口扩展 ：右指针 right 向右移动时，将当前元素值累加到 sum 中。
3. 窗口收缩 ：当 sum ≥ target 时，计算当前窗口长度，并尝试通过移动左指针 left 来缩小窗口，寻找更小的满足条件的子数组。
4. 记录最小长度 ：每次窗口满足条件时，更新最小长度 result，初始设为 Integer.MAX_VALUE，若最终未更新则返回 0。

代码

class Solution {public int minSubArrayLen(int target, int[] nums) {// 初始化左指针、当前窗口和、最小长度int left = 0;int sum = 0;int result = Integer.MAX_VALUE;// 右指针从 0 开始遍历数组for (int right = 0; right < nums.length; right++) {// 将当前元素值累加到窗口和中sum += nums[right];// 当窗口和满足 ≥ target 时，尝试缩小窗口以寻找更小的长度while (sum >= target) {// 更新当前窗口的最小长度result = Math.min(result, right - left + 1);// 缩小窗口：减去左指针的元素值，并右移左指针sum -= nums[left];left++;}}// 如果 result 未被更新，说明无满足条件的子数组，返回 0return result == Integer.MAX_VALUE ? 0 : result;}
}

第二题：59. 螺旋矩阵 II - 力扣（LeetCode）

解题思路

本题要求生成一个 n x n 的螺旋矩阵，其中的元素从 1 到 n² 按顺时针螺旋顺序填充。该问题的核心在于模拟螺旋填充的过程 ，通过分层遍历的方式逐圈填充矩阵的四边，并正确处理边界条件。

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核心思想

1. 分层填充 ：将矩阵分为若干圈（层），每圈处理四条边（上、右、下、左），直到填充完整个矩阵。
2. 起始点控制 ：每圈的起始点为 (startX, startY)，初始为 (0, 0)，每完成一圈后更新起始点。
3. 边界控制 ：使用 offset 来控制每圈的边界范围，避免覆盖已填充的区域。
4. 奇数中心点处理 ：当 n 为奇数时，最后一圈会剩下一个中心点需要单独填充。
5. 填充顺序的记忆口诀

        上行左到右，列增行不动；  
        右边上到下，行增列不动；  
        下行右到左，列减行不动；  
        左边下到上，行减列不动。  
        填完一圈，起点进，偏移增；  
        奇数中心点，单独补。  

代码

class Solution {public int[][] generateMatrix(int n) {// 初始化 n x n 的矩阵int[][] nums = new int[n][n];// 定义每一圈的起始位置 (startX, startY)int startX = 0, startY = 0;// 定义循环次数、偏移量、计数器int loop = 1, offset = 1, count = 1;// 每圈循环填充四条边，直到填满所有圈while (loop <= n / 2) {// 1. 填充上边：从左到右（左闭右开）for (int j = startY; j < n - offset; j++) {nums[startX][j] = count++;}// 2. 填充右边：从上到下（上闭下开）for (int i = startX; i < n - offset; i++) {nums[i][n - offset] = count++;}// 3. 填充下边：从右到左（右闭左开）for (int j = n - offset; j > startY; j--) {nums[n - offset][j] = count++;}// 4. 填充左边：从下到上（下闭上开）for (int i = n - offset; i > startX; i--) {nums[i][startY] = count++;}// 进入下一圈loop++;offset++;startX++;startY++;}// 如果 n 为奇数，填充中心点if (n % 2 == 1) {nums[startX][startY] = count;}return nums;}
}

细节解释

 

循环条件 loop <= n / 2 的核心目的是控制螺旋矩阵的填充层数 。具体原因如下：

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1. 分层填充的逻辑

螺旋矩阵的填充是按圈进行的，每一圈对应矩阵的一层。例如：

• 当 n = 3（奇数）时，需要填充 1 层外圈 （覆盖 8 个元素），最后中心点单独填充。
• 当 n = 4（偶数）时，需要填充 2 层外圈 （覆盖所有 16 个元素），无需单独处理中心点。

因此，总的循环次数（即圈数）为 n / 2 的向下取整 （即 n // 2）。在代码中，loop 变量表示当前填充的圈数，循环条件 loop <= n / 2 确保所有圈都被正确填充

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2. 数学推导：为什么是 n / 2

• 偶数情况 ：若 n = 4，则总共有 4 / 2 = 2 圈。每圈填充后，矩阵的边界会向内收缩 1 层（通过 offset 控制），最终刚好填满整个矩阵。

通过 loop <= n / 2，可以统一处理奇偶情况：

• 当 n 为偶数时，循环结束后矩阵完全填充。

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3. 代码中的实现细节

• offset 的作用 ：每完成一圈，offset 增加 1，用于缩小下一圈的填充范围。例如：
  • 第一圈的上边填充范围是 [startY, n - offset)，offset 初始为 1，因此范围是 [0, n - 1)。
  • 第二圈的上边范围变为 [1, n - 2)，以此类推。

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4. 示例验证

示例 1：n = 3（奇数）

• 循环条件 loop <= 1（n / 2 = 1.5，向下取整为 1）。
• 循环执行 1 次，填充外圈（8 个元素）。
• 最后通过 if (n % 2 == 1) 填充中心点 5。

示例 2：n = 4（偶数）

• 循环条件 loop <= 2（n / 2 = 2）。
• 循环执行 2 次，填充两圈，完全覆盖所有元素，无需额外处理。

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总结

循环条件 loop <= n / 2 的本质是通过数学规律控制螺旋矩阵的填充层数 ：

• 偶数情况 ：恰好填满所有层。
• 奇数情况 ：填满外层后，剩余中心点单独处理。 这种设计既保证了代码的简洁性，又避免了重复填充或遗漏元素的问题

第三题：58. 区间和（第九期模拟笔试）

解题思路

本题要求对一个整数数组进行多次区间求和查询，每次查询给出左右边界 a 和 b（满足 b >= a），计算数组在区间 [a, b] 内所有元素的和。直接暴力计算每次查询的和会导致时间复杂度为 O(n×q)（q 为查询次数），在数据量较大时容易超时。因此，采用 前缀和 （Prefix Sum）算法优化查询效率。

前缀和原理

前缀和数组 prefix 的第 i 项 prefix[i] 表示原数组从第一个元素到第 i 个元素的累加和（索引从0开始）。通过前缀和数组，任意区间 [a, b] 的和可以由 prefix[b] - prefix[a-1] 快速计算得到（若 a == 0 则直接取 prefix[b]）

算法步骤

1. 预处理前缀和数组 ：

   • 输入数组后，构建前缀和数组 prefix，其中 prefix[i] = prefix[i-1] + array[i]。
   • 时间复杂度为 O(n)。

2. 处理查询 ：

   • 对每个查询 (a, b)，根据公式 sum = prefix[b] - (a > 0 ? prefix[a-1] : 0) 计算区间和。
   • 每次查询时间复杂度为 O(1)，总体复杂度为 O(q)。

复杂度分析

• 时间复杂度 ：预处理 O(n)，查询总时间 O(q)，适用于大规模数据。
• 空间复杂度 ：需要额外的前缀和数组，占用 O(n) 空间。

代码

import java.util.Scanner;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);// 读取数组长度 nint n = scanner.nextInt();int[] array = new int[n];  // 存储原始数组int[] prefix = new int[n]; // 存储前缀和数组// 读取数组元素for (int i = 0; i < n; i++) {array[i] = scanner.nextInt();}// 构建前缀和数组// 前缀和数组的第一个元素等于原始数组的第一个元素prefix[0] = array[0];// 从第二个元素开始，每个前缀和等于前一个前缀和加上当前元素for (int i = 1; i < n; i++) {prefix[i] = prefix[i - 1] + array[i];}// 处理查询while (scanner.hasNextInt()) {int a = scanner.nextInt(); // 区间左边界int b = scanner.nextInt(); // 区间右边界// 计算区间和int sum;if (a == 0) {sum = prefix[b]; // 当 a=0 时，直接取 prefix[b]} else {sum = prefix[b] - prefix[a - 1]; // 否则用 prefix[b] - prefix[a-1]}System.out.println(sum); // 输出结果}scanner.close(); // 关闭输入流}
}

 第四题：44. 开发商购买土地（第五期模拟笔试）

 

解题思路（基于前缀和思想）

核心思想：利用前缀和预处理，快速枚举所有合法划分方式并计算差值

• 前缀和预处理 ：将每行和每列的总和视为一维数组，构建其前缀和序列，从而在划分时快速获取任意前缀区间的总和。
• 横向划分 ：将每行的总和构成一维数组 horizontal，其前缀和 prefix_row[i] 表示前 i+1 行的总和。在任意划分位置 i（0 ≤ i < n-1），前缀和 prefix_row[i] 对应前 i+1 行的总和，剩余部分为 sum - prefix_row[i]，差值为 |sum - 2 * prefix_row[i]|。
• 纵向划分 ：同理，将每列的总和构成一维数组 vertical，其前缀和 prefix_col[j] 表示前 j+1 列的总和。在任意划分位置 j（0 ≤ j < m-1），前缀和 prefix_col[j] 对应前 j+1 列的总和，差值为 |sum - 2 * prefix_col[j]|。

算法步骤

1. 读取输入并计算总和 ：

   • 遍历网格 grid[n][m]，累加所有元素得到总和 sum。

2. 构建前缀和序列 ：

   • 横向前缀和 ：通过累加 horizontal[i] 构建前缀和序列。例如，prefix_row[i] = prefix_row[i-1] + horizontal[i]。

3. 枚举划分并计算差值 ：

   • 横向划分 ：遍历 horizontal 数组前 n-1 项，累加得到前缀和 horizontalCut，计算差值 |sum - 2 * horizontalCut|。
   • 纵向划分 ：遍历 vertical 数组前 m-1 项，累加得到前缀和 verticalCut，计算差值 |sum - 2 * verticalCut|。

前缀和的作用与优势

数学推导（差值计算）

设某次划分的前缀和为 cut，则两个子区域的总价值分别为 cut 和 sum - cut，差值为：

∣cut−(sum−cut)∣=∣sum−2×cut∣

此公式将差值计算简化为单次减法和取绝对值操作，无需显式计算两部分和的差值

代码

import java.util.Scanner;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);int n = scanner.nextInt(); // 行数int m = scanner.nextInt(); // 列数int sum = 0; // 整个网格的总和int[][] grid = new int[n][m]; // 存储网格数据int[] horizontal = new int[n]; // 每行的总和int[] vertical = new int[m];   // 每列的总和// 读取网格数据并计算总和for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < m; j++) {grid[i][j] = scanner.nextInt();sum += grid[i][j];}}// 计算每行的总和（前缀和预处理）for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < m; j++) {horizontal[i] += grid[i][j]; // horizontal[i] 表示第 i 行的总和}}// 计算每列的总和（前缀和预处理）for (int j = 0; j < m; j++) {for (int i = 0; i < n; i++) {vertical[j] += grid[i][j]; // vertical[j] 表示第 j 列的总和}}int result = Integer.MAX_VALUE; // 初始化最小差值为最大值// 枚举所有合法的横向划分方式（前缀和应用）int horizontalCut = 0; // 隐式前缀和变量，逐步累加每行的和for (int i = 0; i < n - 1; i++) { // 只遍历 n-1 个合法划分位置horizontalCut += horizontal[i]; // 累加前 i+1 行的总和（前缀和）int diff = Math.abs(sum - 2 * horizontalCut); // 计算差值result = Math.min(result, diff); // 更新最小差值}// 枚举所有合法的纵向划分方式（前缀和应用）int verticalCut = 0; // 隐式前缀和变量，逐步累加每列的和for (int j = 0; j < m - 1; j++) { // 只遍历 m-1 个合法划分位置verticalCut += vertical[j]; // 累加前 j+1 列的总和（前缀和）int diff = Math.abs(sum - 2 * verticalCut); // 计算差值result = Math.min(result, diff); // 更新最小差值}System.out.println(result); // 输出最小差值scanner.close();}
}