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在谈背包的优化的时候，我们先回顾一下之前的数字三角形问题，我们先用这道题进行一下优化，在谈我们01背包的优化

step1：分析状态表示 f[i][j]表示i，j这个格子的最大路径和

step2；分析状态转移方程

填每个格子都需要正上方和左上方的最大路径加该点的权值取最大

so f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i-1][j-1]) + a[i][j]

step3 初始化

由于啊我们每个点的权值都是正整数或者0，

所以刚开始的时候我们只要把数组全部初始化为0就行了

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n;
int a[N][N];
int f[N][N];
int main()
{cin >> n;for(int i = 1;i<=n;i++){for(int j = 1;j<=i;j++){cin >> a[i][j];}}for(int i = 1;i<=n;i++){for(int j = 1;j<=i;j++){f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i-1][j-1])+a[i][j];	}}int ret = 0;for(int i = 1;i<=n;i++){ret = max(ret,f[n][i]);}cout << ret << endl;return 0;
}

接下来我们就来做一下空间优化，如何把二维转换成一维

我们的第一想法一定是开两个数组，第一个数组是填完的数组，第二个数组根据第一个数组从左往右依次填，

其实还能进一步的优化，我们只需要开一个数组，

每个位置应该填成它当前的值+上一个值，但是我们从左往右填的话就会导致填第二个的时候，第一个值已经变成新的了，我们无法保证其正确性，so我们正确的做法就应该是反着填

now 我们修改一下我们的代码

非常简单，我们只需要做两个事情，1.删除dp数组的一维 2.看看需不需要修改遍历顺序，即可

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n;
int a[N][N];
int f[N];
int main()
{cin >> n;for(int i = 1;i<=n;i++){for(int j = 1;j<=i;j++){cin >> a[i][j];}}for(int i = 1;i<=n;i++){for(int j = i;j>=1;j--){f[j] = max(f[j],f[j-1])+a[i][j];	}}int ret = 0;for(int i = 1;i<=n;i++){ret = max(ret,f[i]);}cout << ret << endl;return 0;
}

这就是我们的空间优化，但是对这道题来说，收益其实是不大的，因为我们的空间应该是足够的，but 对背包问题来说，如果我们对背包问题进行了空间优化，它的时间也是同样会被优化的

我们来重新回顾一下我们的01背包问题

先做第一小问：step1:定义状态表示f[i][j]表示从1到i里选出体积不超过j的最大价值

step2:确定状态转移方程

选和不选的结果取最大值

当然了，我们要选某一个格子的话一定要确定这个格子本身体积是不超过v[i][j]的

step3:初始化

直接填表，0是不影响结果的，

step4:结果，结果就存在f[n][m]里

#include <iostream>
using namespace std;
const int N  = 1010;
int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N][N];
int main()
{cin >> n >> m;for(int i = 1;i<=n;i++){cin >> v[i] >> w[i]; }for(int i = 1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){f[i][j] = f[i-1][j];if(j>=v[i]){f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);}}}cout << f[n][m] << endl;return 0;
}

嗯。我们进行一下空间优化，还是老样子，我们先确定一下空间优化的顺序

我们填每一个格子都是需要左边或者它自己的值，如果我们从左往右填的话，更新右边的值的时候左边的已经改完了，so遍历顺序应该还是从右往左，我们修改一下

#include <iostream>
using namespace std;
const int N  = 1010;
int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N];
int main()
{cin >> n >> m;for(int i = 1;i<=n;i++){cin >> v[i] >> w[i]; }for(int i = 1;i<=n;i++){for(int j=m;j>=v[i];j--){f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);}}cout << f[m] << endl;return 0;
}

我们再做一下第二小问

step1:定义状态表示 f[i][j]表示从1到i选出恰好等于体积j的最大价值

step2:推导状态转移方程

可以看到和第一小问的推导方程是差不多的

step3初始化，这里我们就要多注意一下了，我们不可能每个格子都能恰好装满，一定是有无效值的，我们可以把所有格子全初始化为负无穷，然后从有效的开始填起，根据无效格子填的格子还是无效的，嗯，除此之外我们要考虑一下边界情况，最上面那层，0，0表示从0个物品选体积为0，这个格子是有效的，应该是0，我们还要考虑一下左边的边界，i从0到m，体积为0，也需要全部填0

好的，我们来实现一下代码

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N  = 1010;
int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N][N];
int main()
{
//	cin >> n >> m;
//	for(int i = 1;i<=n;i++)
//	{
//		cin >> v[i] >> w[i]; 
//	}
//	
//	for(int i = 1;i<=n;i++)
//	{
//		for(int j=m;j>=v[i];j--)
//		{
//			
//				f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
//			
//		}
//	}
//	
//	cout << f[m] << endl;memset(f,-0x3f,sizeof f);cin >> n >> m;for(int i =1;i<=n;i++){cin >> v[i] >> w[i];}	for(int i = 1;i<=n;i++){f[i][0] = 0;}for(int i = 1;i<=n;i++){for(int j =1;j<=m;j++){f[i][j] = f[i-1][j];if(j>=v[i]){f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);}}}cout << f[n][m] << endl;return 0;
}

老样子，我们继续对这段代码进行空间优化，还是看遍历顺序，去掉一维

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N  = 1010;
int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N];
int main()
{cin >> n >> m;for(int i = 1;i<=n;i++){cin >> v[i] >> w[i]; }for(int i = 1;i<=n;i++){for(int j=m;j>=v[i];j--){f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);}}cout << f[m] << endl;memset(f,-0x3f,sizeof f);cin >> n >> m;for(int i =1;i<=n;i++){cin >> v[i] >> w[i];}	for(int i = 1;i<=n;i++){f[0] = 0;}for(int i = 1;i<=n;i++){for(int j =m;j>=v[i];j--){f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);}}if(f[m]>=0) cout << f[m] << endl;else cout << 0 << endl;return 0;
}