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在acwing.com中的题，本次为01背包问题【具体视频可通过www.acwing.com/video/214网站观看（ps:是跟着视频中的老师一起写的，并不是原创~~~）】

01背包问题题目：

        有N件物品和一个容量是V的背包。每件物品只能使用一次。第i间物品的体积是vi，价值是wi，求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大，输出最大价值。

输入格式：

        第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别标识物品数量和背包容积。接下来的N行，每行两个整数vi，wi，用空格隔开，分别标识第i间物品的体积和价值。

输出格式：

        输出一个整数，表示最大价值。

数据范围：

        0<N   V<=1000

        0<vi  wi<=1000

输入样式：

4 5

1 2

2 4

3 4

4 5

输出样式：

8

 

代码 

/*
二维动态规划：f[i][j]表示只看前面i个物品，总体积是j的情况下，总价值最大是多少
result = max(f[n][0~v]) f[i][j]:
1.不选第i个物品，f[i][j] = f[i-1][j]
2.选第i个物品，f[i][j] = f[i-1][j-v[i]]f[i][j] = max{1.2.}初始化：f[0][0] = 0 
时间复杂度：O（n*m） */
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;const int N = 1010;  // 定义常量N，表示物品的最大数量
int n, m;            // n表示物品的数量，m表示背包的容量
int f[N][N];         // f[i][j]表示前i个物品在背包容量为j时的最大价值
int v[N], w[N];      // v[i]表示第i个物品的体积，w[i]表示第i个物品的价值int main() {cin >> n >> m;  // 输入物品的数量和背包的容量// 输入每个物品的体积和价值for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> v[i] >> w[i];// 动态规划求解for (int i = 1; i <= n; i++) {  // 遍历每个物品for (int j = 0; j <= m; j++) {  // 遍历背包的容量f[i][j] = f[i - 1][j];  // 不选择第i个物品时的最大价值if (j >= v[i])  // 如果当前背包容量j大于等于第i个物品的体积f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);  // 选择第i个物品或不选择，取最大值}}int res = 0;// 遍历所有可能的背包容量，找到最大价值for (int i = 0; i <= m; i++)res = max(res, f[n][i]);cout << res << endl;  // 输出最大价值return 0;
}

代码运行状态： Finished   

输入

10 100
5 8
32 47
17 43
7 9
6 4
29 40
2 6
14 31
6 17
1 3

输出

184

标准答案

184

解题思路

1. 状态定义：

   • f[i][j] 表示前 i 个物品在背包容量为 j 时的最大价值。

2. 状态转移方程：

   • 对于每个物品 i，我们有两种选择：

     • 不选择第 i 个物品：此时的最大价值为 f[i-1][j]。

     • 选择第 i 个物品：此时的最大价值为 f[i-1][j-v[i]] + w[i]（前提是 j >= v[i]）。

   • 因此，状态转移方程为：

     f[i][j]=max⁡(f[i−1][j],f[i−1][j−v[i]]+w[i])f[i][j]=max(f[i−1][j],f[i−1][j−v[i]]+w[i])

3. 初始化：

   • f[0][j] = 0，表示没有物品时，背包的最大价值为0。

   • f[i][0] = 0，表示背包容量为0时，最大价值为0。

4. 最终结果：

   • 最终的结果是 f[n][m]，即前 n 个物品在背包容量为 m 时的最大价值。