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背包问题特点:

滚动数组背包遍历顺序

• 完全背包从小到大,即基于当前物品更新过的继续更新
• 01背包从大到小,即基于上一物品更新

物品内外层循环:

• 求组合数外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
  (物品顺序固定,所以不会出现不同的排列)
• 求排列数外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

518. 零钱兑换 II

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学习: 代码随想录公开讲解

问题:

给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。

请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。

假设每一种面额的硬币有无限个。

题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。

思路:

完全背包求组合数,外侧物品,顺序从小到大遍历

复杂度:

• 时间复杂度: $O(nm)$
• 空间复杂度: $O(n)$

代码:

class Solution {public int change(int amount, int[] coins) {int[] dp = new int[amount + 1];dp[0] = 1;for (int num = 0; num < coins.length; num++) {for (int i = coins[num]; i <= amount; i++) {dp[i] += dp[i - coins[num]];}}return dp[amount];}
}

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377. 组合总和 Ⅳ

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学习: 代码随想录公开讲解

问题:

给你一个由 不同 整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。

题目数据保证答案符合 32 位整数范围。

思路:

完全背包求排列数,外侧背包,顺序从小到大遍历

复杂度:

• 时间复杂度: $O(nm)$
• 空间复杂度: $O(n)$

代码:

class Solution {public int combinationSum4(int[] nums, int target) {int[] dp = new int[target + 1];dp[0] = 1;for (int i = 0; i <= target; i++) {for (int num = 0; num < nums.length; num++) {if(i>=nums[num]){dp[i] += dp[i - nums[num]];}}}return dp[target];}
}

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790. 多米诺和托米诺平铺(每日一题)

跳转: 790. 多米诺和托米诺平铺

问题:

有两种形状的瓷砖：一种是 2 x 1 的多米诺形，另一种是形如 “L” 的托米诺形。两种形状都可以旋转。

给定整数 n ，返回可以平铺 2 x n 的面板的方法的数量。返回对 109 + 7 取模 的值。

平铺指的是每个正方形都必须有瓷砖覆盖。两个平铺不同，当且仅当面板上有四个方向上的相邻单元中的两个，使得恰好有一个平铺有一个瓷砖占据两个正方形。

思路:

可以看作背包问题,1有1个,2有1个,3有2个,4有2个,从3中间插两个横牌是5,有两个,4插两个横牌是6,有两个,依此类推后面都有两个

这题就是完全背包求排列

也可以看作是爬楼梯

$$f(n)=f(n-1)+f(n-2)+\sum _{m=0}^{n-3}f(m)\ast 2$$
求通项公式为
$$f(n)=2\ast f(n-1)+f(n-3)$$

复杂度:

• 时间复杂度: $O(n)$
• 空间复杂度: $O(n)$

代码(递推公式):

class Solution {private static final int MOD = 1_000_000_007;public int numTilings(int n) {if (n == 1) {return 1;}long[] f = new long[n + 1];f[0] = f[1] = 1;f[2] = 2;for (int i = 3; i <= n; i++) {f[i] = (f[i - 1] * 2 + f[i - 3]) % MOD;}return (int) f[n];}
}

复杂度:

• 时间复杂度: $O(n^2)$
• 空间复杂度: $O(n)$

代码(完全背包求组合):

class Solution {public int numTilings(int n) {int[] dp = new int[n+1];long MOD = 1000000007;dp[0] = 1;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=2&&j<=n;j++)if(i>=j)dp[i]=(int)(((long)dp[i]+dp[i-j])%MOD);for(int j=3;j<=n;j++)if(i>=j)dp[i]=(int)(((long)dp[i]+2*dp[i-j])%MOD);}return dp[n];}
}

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57. 爬楼梯（第八期模拟笔试）

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学习: 代码随想录公开讲解

问题:

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬至多m (1 <= m < n)个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

思路:

完全背包求排列

复杂度:

• 时间复杂度: $O(nm)$
• 空间复杂度: $O(n)$

代码:

import java.util.Scanner;
class Main{public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);int n = sc.nextInt();int m = sc.nextInt();int[] dp = new int[n+1];dp[0] = 1;for(int j=1;j<=n;j++)for(int i=1;i<=m;i++)if(j>=i)dp[j] += dp[j-i];System.out.println(dp[n]);}
}

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总结

练习了完全背包问题和背包问题求排序组合

往期打卡

代码随想录算法训练营第三十一天

代码随想录算法训练营第三十天(补)

代码随想录算法训练营第二十九天

代码随想录算法训练营第二十八天

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代码随想录算法训练营周末四

代码随想录算法训练营第二十二天(补)

代码随想录算法训练营第二十一天

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