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通过代换变量,把复杂的积分形式转化为更容易计算的形式。


✅ 本质上解决的问题:

当被积函数结构复杂或含有难处理的根式、三角函数、对数等时,通过人为设定新变量简化结构,从而使积分更容易计算。


✅ 处理的问题类型:

常见于以下情况:

  • 被积函数中含有复杂表达式(如根号、对数、三角等)
  • 对变量替换后变成基本函数的积分

*第一类换元积分法通过代换变量,把复杂结构简化为基本积分形式

✅ 举例说明:


✅ 一、三角代换(用于处理根号)

例1:

∫ a 2 − x 2 d x \int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx a2x2 dx

代换 x = a sin ⁡ θ x = a \sin \theta x=asinθ,则 d x = a cos ⁡ θ d θ dx = a \cos \theta d\theta dx=acosθdθ

a 2 − x 2 = a 2 − a 2 sin ⁡ 2 θ = a cos ⁡ θ \sqrt{a^2 - x^2} = \sqrt{a^2 - a^2\sin^2\theta} = a\cos\theta a2x2 =a2a2sin2θ =acosθ

→ 变为 ∫ a 2 cos ⁡ 2 θ d θ \int a^2 \cos^2\theta \, d\theta a2cos2θdθ,易积分。


例2:

∫ d x x 2 + a 2 \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} x2+a2 dx

代换 x = a tan ⁡ θ x = a \tan \theta x=atanθ d x = a sec ⁡ 2 θ d θ dx = a \sec^2 \theta d\theta dx=asec2θdθ

x 2 + a 2 = a sec ⁡ θ \sqrt{x^2 + a^2} = a \sec \theta x2+a2 =asecθ

→ 变为 ∫ a sec ⁡ 2 θ a sec ⁡ θ d θ = ∫ sec ⁡ θ d θ \int \frac{a \sec^2 \theta}{a \sec \theta} d\theta = \int \sec \theta \, d\theta asecθasec2θdθ=secθdθ


✅ 二、代数代换(消除根号、化简分式)

例3:

∫ x x 2 + 1 d x \int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} dx x2+1 xdx

代换:令 x 2 + 1 = t x^2 + 1 = t x2+1=t,则 2 x d x = d t ⇒ x d x = 1 2 d t 2x dx = dt \Rightarrow x dx = \frac{1}{2} dt 2xdx=dtxdx=21dt

变成:

∫ x x 2 + 1 d x = ∫ 1 t ⋅ 1 2 d t = 1 2 ∫ t − 1 / 2 d t \int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{t}} \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt x2+1 xdx=t 121dt=21t1/2dt


例4:

∫ 1 x ln ⁡ x d x \int \frac{1}{x \ln x} dx xlnx1dx

代换:令 u = ln ⁡ x u = \ln x u=lnx,则 d x = e u d u dx = e^u du dx=eudu,或 d u = 1 x d x du = \frac{1}{x} dx du=x1dx

原式变为:

∫ 1 x ln ⁡ x d x = ∫ 1 u d u = ln ⁡ ∣ u ∣ + C = ln ⁡ ∣ ln ⁡ x ∣ + C \int \frac{1}{x \ln x} dx = \int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C = \ln |\ln x| + C xlnx1dx=u1du=lnu+C=lnlnx+C


✅ 三、幂函数配凑型

例5:

∫ x 3 x 2 + 1 d x \int x^3 \sqrt{x^2 + 1} \, dx x3x2+1 dx

代换:设 u = x 2 + 1 u = x^2 + 1 u=x2+1,则 d u = 2 x d x du = 2x dx du=2xdx

重写 x 3 = x ⋅ x 2 = x ⋅ ( u − 1 ) x^3 = x \cdot x^2 = x \cdot (u - 1) x3=xx2=x(u1)
d x = d u 2 x dx = \frac{du}{2x} dx=2xdu

代入得:

∫ x 3 x 2 + 1 d x = ∫ x ( u − 1 ) u ⋅ d u 2 x = 1 2 ∫ ( u − 1 ) u d u \int x^3 \sqrt{x^2 + 1} dx = \int x(u - 1) \sqrt{u} \cdot \frac{du}{2x} = \frac{1}{2} \int (u - 1)\sqrt{u} du x3x2+1 dx=x(u1)u 2xdu=21(u1)u du


✅ 四、消除复杂分母/分式

例6:

∫ 1 ( 1 + x ) 2 d x \int \frac{1}{(1 + \sqrt{x})^2} dx (1+x )21dx

代换:设 u = x u = \sqrt{x} u=x ,则 x = u 2 x = u^2 x=u2, d x = 2 u d u dx = 2u du dx=2udu

原式变为:

∫ 2 u ( 1 + u ) 2 d u \int \frac{2u}{(1 + u)^2} du (1+u)22udu

再拆成部分分式或其他简化方式即可。


✅ 总结:常见第一类换元法代换类型

积分表达结构常用代换目的
a 2 − x 2 \sqrt{a^2 - x^2} a2x2 x = a sin ⁡ θ x = a \sin\theta x=asinθ化成三角形式,便于积分
x 2 + a 2 \sqrt{x^2 + a^2} x2+a2 x = a tan ⁡ θ x = a \tan\theta x=atanθ
x 2 + a 2 x^2 + a^2 x2+a2 u = x 2 + a 2 u = x^2 + a^2 u=x2+a2消除平方表达式
x ln ⁡ x x \ln x xlnx, ln ⁡ x \ln x lnx u = ln ⁡ x u = \ln x u=lnx转为基本函数
1 x 2 + 1 \frac{1}{x^2 + 1} x2+11 x = tan ⁡ θ x = \tan\theta x=tanθ常见于反三角函数
1 1 − x 2 \frac{1}{1 - x^2} 1x21 x = sin ⁡ θ x = \sin \theta x=sinθ
根式中含 x \sqrt{x} x u = x u = \sqrt{x} u=x 降低变量次数或消根号

如需我为你按某一类型或目标做进一步归纳(如专门处理根号积分、分式积分等),我也可以继续补充。
*

http://www.dtcms.com/wzjs/25220.html

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