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多项式相乘法则详解

一、基础概念铺垫

在学习多项式相乘前，需先明确以下概念：

二、多项式相乘的核心法则

多项式相乘的本质是分配律的多次应用，需遵循以下步骤和规则：

（一）单项式×单项式

（二）单项式×多项式

（三）多项式×多项式

• 法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再将所得的积相加。

• 公式：

• 常见类型及展开方法：
  

  2. 多项×多项（以三项×二项为例）
     

  3. 高次多项式相乘
     

三、关键技巧与注意事项

1. 符号处理：

   • 相乘时注意符号规则：同号得正，异号得负（如 (-a×b = -ab)，(-a×(-b) = ab)）。
   • 展开后若某一项前无符号，默认为正（如 (+5x) 通常写作 (5x)）。

2. 同类项合并：

   • 展开后检查是否有同类项（字母和指数均相同的项），合并时系数相加，字母及指数不变。
   • 示例：
     

3. 按次数排序：
   

4. 几何意义验证（以二项式为例）：

   • 如 ((a+b)(c+d)) 可视为长为 (a+b)、宽为 (c+d) 的矩形面积，拆分为四个小矩形面积之和（(ac + ad + bc + bd)），直观理解分配律的应用。

四、常见公式与拓展应用

1. 平方差公式：

   • 示例：

2. 完全平方公式：
   

3. 立方和/差公式：
   

4. 多项式乘法与因式分解的逆关系：
   

五、实战练习与错误规避

• 常见错误：