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1. 01背包问题

卡码
求背包装满时最大价值

背包问题只用掌握01背包、完全背包即可，最多加上一个多重背包。

动规五部曲

1. 确定dp数组以及下标的含义
   i表示将物品i放进背包，j表示背包容量。dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
   
2. 确定递推公式
   求一个状态的价值有两种方式：拿该物品，不拿该物品，也就是说dp[i][j]是由两个方向决定的。
   以dp[1][4]举例。如果不拿该物品，推导方向如下，是由上一个状态dp[i-1][j]决定的。
   
   如果拿物品1，则要先预留出物品1的空间，获得那个状态下（dp[0][1]）背包的总价值，再加上物品1的价值，推导方向为：
   

以上过程，抽象化如下：

不放物品i：背包容量为j，里面不放物品i的最大价值是dp[i - 1][j]。

放物品i：背包空出物品i的容量后，背包容量为j - weight[i]，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]且不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值

递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

3. dp数组如何初始化
   关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。首先背包容量为0时dp[i][0]一定为0。然后根据递推公式可得当前i是由i-1那一行推导得来的，那么i=0时一定要初始化，即dp[0][j]。当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。
   
   对于其他值，只要初始化的足够小让递推过程中可以被覆盖即可。如果题中给的都是非负数那么可初始化为0。
4. 确定遍历顺序
   先遍历物品，再遍历背包重量。递推公式中，dp[i][j]都是从左上角的值求出来的，那么先遍历背包重量也可以，不影响递推。
5. 举例推导dp数组
   如果不理解可以自己模拟一下递推过程。

import java.util.Scanner;public class Main{public static void main (String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);int n = sc.nextInt();int bagweight = sc.nextInt();int[] weight = new int[n];int[] value = new int[n];for(int i = 0; i < n; i++){weight[i] = sc.nextInt();}for(int i = 0; i < n; i++){value[i] = sc.nextInt();}int[][] dp = new int[n][bagweight + 1];for(int i = weight[0]; i <= bagweight; i++){dp[0][i] = value[0];}for(int i = 1; i < n; i++){for(int j = 0; j <= bagweight; j++){if(j < weight[i]){dp[i][j] = dp[i - 1][j];}else{dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);}}}System.out.println(dp[n - 1][bagweight]);}
}

01背包用滚动数组（一维数组）解决

观察递推公式，每一行的值都是由上一行推导出来的，而且都是求最大值，最终结果最大值一定是右下角。那么可以将上一行的内容复制到本行，然后直接在本行进行推导，即：
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);

与其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上，不如只用一个一维数组了，只用dp[j]（一维数组，也可以理解是一个滚动数组）。这就是滚动数组的由来，需要满足的条件是上一层可以重复利用，直接拷贝到当前层。去掉dp[i]这个维度，那么递推公式就变成：
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

依然是动规五部曲，dp[j]的定义是容量为j的背包最大价值。初始化时dp[0]一定是0，其余元素仍然保持最小即可。注意遍历顺序，在遍历背包重量时要从大到小遍历。因为递推公式要用到左边的值，从大到小遍历就可以保证递推时仍然使用的是上一层的数据（即dp[i-1][j]），否则就会多次使用前面的值。可以自己手写一遍，就会发现前面的物品被多次装进背包，不符合01背包的要求。

import java.util.Scanner;public class Main{public static void main (String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);int n = sc.nextInt();int bagweight = sc.nextInt();int[] weight = new int[n];int[] value = new int[n];for(int i = 0; i < n; i++){weight[i] = sc.nextInt();}for(int i = 0; i < n; i++){value[i] = sc.nextInt();}int[] dp = new int[bagweight + 1];for(int i = 0; i < n; i++){for(int j = bagweight; j >= weight[i]; j--){dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}}System.out.println(dp[bagweight]);}
}

2. 分割等和子集

力扣
背包问题不仅可以求最大价值，也可以求一个背包能不能装满

要求数组中是否有某些元素加起来刚好等于sum/2，可以用背包问题模拟。每个元素就是一个物品，重量就等于价值当物品装满时，如果最大价值刚好等于重量，即dp[target]==target时，说明正好可以装满。

class Solution {public boolean canPartition(int[] nums) {int n = nums.length;int sum = 0;for(int i = 0; i < n; i++){sum += nums[i];}if(sum % 2 != 0) return false;int target = sum/2;int[] dp = new int[target + 1];for(int i = 0; i < n; i++){for(int j = target; j >= nums[i]; j--){dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);}}return dp[target] == target;}
}