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目录

一、什么是向量

二、向量的模长和单位向量

三、向量的加减乘除

四、向量的点乘

扇形视野检测

五、向量的叉乘

六、插值运算

 七、总结

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一、什么是向量

几何意义
1、向量是具有方向和长度的数学对象，常用于表示位移、速度、力等方向性物理量。
2、点是位置，向量是方向+长度，两者在 Unity 中都可用 Vector3 表示，但语义不同。

代码中的 Vector3
Unity 的 Vector3 结构体表示三维向量，包含 x, y, z 三个分量。

例如：

Vector3 position = new Vector3(1, 2, 3);  // 表示点的位置
Vector3 direction = new Vector3(0, 1, 0); // 表示方向（例如：向上）
//A和B此时 几何意义是两个点
Vector3 A = new Vector3(1, 2, 3);
Vector3 B = new Vector3(4, 5, 6);
//求向量
Vector3 AB = B - A;
print(AB);
Vector3 BA = A - B;
print(BA);
//零向量和负向量Vector3 zero = Vector3.zero;Vector3 neg = -A;

二、向量的模长和单位向量

模长（Magnitude）
模长是向量的长度，计算公式：
|v| = sqrt(x² + y² + z²)

Vector3 v = new Vector3(3, 4, 0);
float length = v.magnitude; // 结果为5（勾股定理）

两个点之间的距离：

print(Vector3.Distance(A, B));

单位向量（Normalized）
方向相同但长度为1的向量，用于仅关注方向时。
归一化方法：

Vector3 normalizedV = v.normalized; // 返回新单位向量
v.Normalize(); // 将原向量归一化（直接修改v）

常用的单位向量 ：

Vector3.zero      // (0, 0, 0) → 原点
Vector3.one       // (1, 1, 1) → 单位缩放
Vector3.forward   // (0, 0, 1) → Z轴正方向（物体前方）
Vector3.back      // (0, 0, -1)
Vector3.up        // (0, 1, 0) → Y轴正方向（物体上方）
Vector3.down      // (0, -1, 0)
Vector3.right     // (1, 0, 0) → X轴正方向（物体右侧）
Vector3.left      // (-1, 0, 0)

三、向量的加减乘除

向量的基本运算http://1.2 向量的基本运算（加减、数乘） - 白鲸的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/615940607

加减法
几何意义：向量的合成与分解。矢量相加减，三角形法则或者平行四边形法则，加法就是减法。

Vector3 a = new Vector3(1, 2, 3);
Vector3 b = new Vector3(4, 5, 6);
Vector3 sum = a + b; // (5,7,9)
Vector3 diff = a - b; // (-3,-3,-3)

标量乘除
几何意义：缩放向量长度。

Vector3 v = new Vector3(1, 0, 0);
Vector3 doubled = v * 2; // (2,0,0) 长度变为2
Vector3 half = v / 2;    // (0.5,0,0)

四、向量的点乘

公式与几何意义
公式：a·b = |a||b|cosθ，结果为标量。

用途：
计算两向量夹角：θ = arccos(a·b / (|a||b|))
判断方向关系（同向/垂直/反向）。

1. a·b > 0（正数）
几何意义：两向量夹角为锐角（0° ≤ θ < 90°）。
方向关系：两向量大致同方向。

例如：

Vector3 forward = Vector3.forward; // (0,0,1)
Vector3 dir1 = new Vector3(0, 0, 0.5f); 
Vector3 dir2 = new Vector3(0, 0, -1f); float dot1 = Vector3.Dot(forward, dir1); // 0.5 > 0 → 同向
float dot2 = Vector3.Dot(forward, dir2); // -1 < 0 → 反向

2. a·b = 0
几何意义：两向量垂直（θ = 90°）。
应用场景：检测物体是否在侧面方向。

例如：

// 判断敌人是否在玩家正左侧/右侧
Vector3 playerRight = transform.right; // 玩家的右侧方向
Vector3 enemyDir = enemy.position - transform.position;
float dot = Vector3.Dot(playerRight, enemyDir);if (Mathf.Approximately(dot, 0)) {//无限逼近0Debug.Log("敌人在正侧方！");
}

3. a·b < 0（负数）
几何意义：两向量夹角为钝角（90° < θ ≤ 180°）。
方向关系：两向量大致反方向。

例如：

Vector3 playerForward = transform.forward;
Vector3 enemyBehindDir = transform.position - enemy.position;if (Vector3.Dot(playerForward, enemyBehindDir) < 0) {Debug.Log("敌人在后方！");
}

点加减向量等同于将点朝着向量的方向移动向量的长度那么远。

例如：

Vector3 a = new Vector3(1, 0, 0);
Vector3 b = new Vector3(0, 1, 0);
float dot = Vector3.Dot(a, b); // 0（垂直）// 判断敌人是否在玩家前方
Vector3 playerForward = transform.forward;
Vector3 enemyDirection = enemy.position - player.position;
if (Vector3.Dot(playerForward, enemyDirection) > 0) {Debug.Log("敌人在前方！");
}

点乘与投影：轴偏移距离分析
点乘可以用来计算一个向量在另一个向量方向上的投影长度，从而判断“距某个轴向偏移了多远”。

公式
向量 a 在向量 b 方向上的投影长度为：
投影长度 = |a| * cosθ = (a·b) / |b|

// 计算物体在玩家正前方（z轴）的偏移距离
Vector3 playerForward = transform.forward; // 假设已归一化（长度=1）
Vector3 objectOffset = object.position - transform.position;// 投影长度 = (objectOffset · playerForward) / |playerForward| 
// 因为 playerForward 是单位向量，分母为1，直接取点乘结果
float forwardDistance = Vector3.Dot(objectOffset, playerForward);if (forwardDistance > 5) {Debug.Log("物体在玩家前方5米外");
} else if (forwardDistance < -3) {Debug.Log("物体在玩家后方3米外");
}

扇形视野检测

// 判断目标是否在玩家60度视野内
Vector3 toTarget = target.position - transform.position;
float dot = Vector3.Dot(transform.forward, toTarget.normalized);
float cosThreshold = Mathf.Cos(60 * Mathf.Deg2Rad); // 60度对应的cos值≈0.5if (dot > cosThreshold) {Debug.Log("目标在视野内！");
}

五、向量的叉乘

公式与几何意义
公式：a × b 结果是一个新的向量，方向垂直于 a 和 b 所在平面，遵循右手法则。如图

用途：
计算平面法线（例如：地形法线）。
计算旋转轴（例如：绕轴旋转）。

例如判断叉乘后的向量和原先向量的相对位置：假设AB都是xz平面的线

        Vector3 C= Vector3.Cross(A.position, B.position);if (C.y > 0){print("B在A的右侧");}else{print("B在A的左侧");}

六、插值运算

线性插值（Lerp）
作用：在两个向量之间按比例插值，实现平滑过渡。

数学原理
公式：
result=a+t×(b−a)
即直接沿直线从 a 到 b 按比例 t 插值。
特性：
t=0 时返回 a，t=1 时返回 b。
t 超出 [0,1] 时，结果会超出 a 到 b 的直线范围（如 t=2 会得到 b + (b-a)）。

例如：

Vector3 start = Vector3.zero;
Vector3 end = new Vector3(10, 0, 0);
Vector3 result = Vector3.Lerp(start, end, 0.5f); // (5,0,0)

球形插值（Slerp）
作用：保持匀速的弧形插值，适合旋转或相机跟随。

输入参数：起点位置，目标位置，弧线移动过去

Vector3 from = transform.forward;
Vector3 to = target.position - transform.position;
Vector3 direction = Vector3.Slerp(from, to, Time.deltaTime * speed);

特性	Lerp	Slerp
插值路径	直线	球面弧线
输入向量要求	任意向量（无需归一化）	必须为单位向量（归一化）
匀速性	非匀速（线性距离变化）	匀速（恒定角速度）
典型场景	位置、颜色、缩放等非方向性数据	方向、旋转等需要保持路径自然性的场景

 七、总结

 Unity Vector3 类的重要属性及 API 总结表：

属性/API	输入参数	输出结果	简单示例
Vector3.zero	无	零向量 (0,0,0)	Vector3 zero = Vector3.zero;
Vector3.one	无	单位向量 (1,1,1)	Vector3 one = Vector3.one;
Vector3.forward	无	世界坐标系前向单位向量 (0,0,1)	Vector3 dir = Vector3.forward;
Vector3.up	无	世界坐标系上向单位向量 (0,1,0)	Vector3 upDir = Vector3.up;
vector.magnitude	无	向量的模长（长度）	float len = new Vector3(3,4,0).magnitude; // 5
vector.normalized	无	单位向量（不修改原向量）	Vector3 norm = v.normalized;
vector.Normalize()	无	将原向量归一化（直接修改）	v.Normalize();
Vector3.Dot(a, b)	两个 Vector3 向量	点乘结果（标量）	float dot = Vector3.Dot(a, b);
Vector3.Cross(a, b)	两个 Vector3 向量	叉乘结果（垂直向量）	Vector3 cross = Vector3.Cross(a, b);
Vector3.Distance(a, b)	两个 Vector3 点	两点之间的直线距离	float dist = Vector3.Distance(pointA, pointB);
Vector3.Lerp(a, b, t)	起点 a，终点 b，比例 t	线性插值后的向量	Vector3 pos = Vector3.Lerp(start, end, 0.5f);
Vector3.Slerp(a, b, t)	单位向量 a，单位向量 b，比例 t	球面插值后的向量	Vector3 dir = Vector3.Slerp(from, to, t);
运算符 + (a, b)	两个 Vector3 向量	向量相加结果	Vector3 sum = a + b;
运算符 - (a, b)	两个 Vector3 向量	向量相减结果	Vector3 diff = a - b;
运算符 * (v, scalar)	向量 v，标量 scalar	向量缩放后的结果	Vector3 scaled = v * 2f;
运算符 / (v, scalar)	向量 v，标量 scalar	向量缩放后的结果	Vector3 half = v / 2f;

就这样 再见