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问题描述
解决思路
关键点
代码实现
代码解析
1. 初始化结果和路径
2. 深度优先搜索（DFS）
3. 遍历候选数字
4. 递归与回溯
示例分析
复杂度与优化
回溯算法三部曲
1. 路径选择：记录当前路径
2. 递归探索：进入下一层决策
3. 撤销选择：回溯到上一层
代码框架模板
关键点解析
总结
问题描述
我们需要找出所有由 k 个不同数字组成的组合，这些数字的范围是 1 到 9，且它们的和等于 n。组合中的数字不能重复使用，且结果不能包含重复的组合。例如，当 k=3, n=7 时，唯一有效的组合是 [1,2,4]。
解决思路
这个问题可以通过回溯算法解决。核心思想是递归地尝试每一个可能的数字，逐步构建符合条件的组合，并通过剪枝优化减少无效搜索。
关键点
-
数字范围固定：所有数字只能在
1-9中选择。 -
组合唯一性：每个组合中的数字必须严格递增，避免重复（如
[1,2,4]和[2,1,4]被视为同一组合）。 -
剪枝优化：在递归过程中，提前终止不可能满足条件的分支，大幅提高效率。
代码实现
var combinationSum3 = function (k, n) {const result = [];const path = [];const dfs = (start, sum) => {// 终止条件：路径长度等于k且和等于nif (path.length === k && sum === n) {result.push([...path]);return;}// 遍历候选数字for (let i = start; i <= 9; i++) {// 剪枝1：剩余数字不够组成k个数if (path.length + (9 - i + 1) < k) break; // 剪枝2：当前和超过nif (sum + i > n) break; path.push(i);dfs(i + 1, sum + i); // 递归下一层，起始位置为i+1path.pop(); // 回溯，撤销选择}};dfs(1, 0); // 从数字1开始，初始和为0return result;
};代码解析
1. 初始化结果和路径
-
result：存储所有符合条件的组合。 -
path：记录当前递归路径中的数字。
2. 深度优先搜索（DFS）
-
参数：
start表示当前递归的起始数字，sum表示路径中数字的当前和。 -
终止条件：当路径长度等于
k且和等于n时，将当前路径加入结果列表。
3. 遍历候选数字
-
循环范围：从
start到9，确保数字递增，避免重复组合。 -
剪枝1：
path.length + (9 - i + 1) < k
如果当前已选数字数量加上剩余可用数字数量不足k，说明无法组成有效组合，直接终止循环。
例如：k=3，当前已选1个数字，剩余可用数字是8和9（共2个），显然不够选2个。 -
剪枝2：
sum + i > n
如果当前路径和加上i已经超过n，后续更大的数字只会让和更大，无需继续搜索。
4. 递归与回溯
-
选择数字：将
i加入路径，递归调用dfs处理下一个数字。 -
撤销选择：递归返回后，将
i从路径中移除，尝试其他可能的数字。
示例分析
以 k=3, n=7 为例：
-
初始调用：
dfs(1, 0)。 -
第一层循环：
i=1，路径为[1]，和为1。 -
第二层循环：
i=2（起始为2），路径为[1,2]，和为3。 -
第三层循环：
i=4（起始为3），路径为[1,2,4]，和为7，满足条件，加入结果。 -
回溯：递归返回，尝试其他数字，但均无法满足条件，最终结果唯一。
复杂度与优化
-
时间复杂度：最坏情况为
O(9! / (k!(9-k)!))，即组合数的时间。 -
空间复杂度：递归栈深度为
k，空间复杂度为O(k)。
通过剪枝，实际运行时间远低于理论最坏情况，因为无效分支被提前终止。
回溯算法三部曲
回溯算法是解决组合、排列、子集等问题的经典方法。它的核心思想是递归地尝试所有可能的选择，并通过“撤销选择”回到之前的状态，从而穷举所有解。其实现过程可以总结为以下三个关键步骤：
1. 路径选择：记录当前路径
在每一步递归中，将当前的选择加入路径（通常是一个数组），表示“当前正在尝试这个选择”。
对应代码：path.push(i)
作用：保存当前递归层的选择，用于后续判断是否满足条件。
示例：在组合问题中，选择数字 i 加入 path，表示尝试将 i 作为组合的一部分。
2. 递归探索：进入下一层决策
基于当前路径，递归调用函数，处理下一个选择（比如下一个数字或位置）。
对应代码：dfs(i + 1, sum + i)
作用：进入下一层递归，继续尝试剩余的选择。
示例：在组合问题中，递归时从 i+1 开始，确保数字不重复且递增，避免重复组合。
3. 撤销选择：回溯到上一层
当递归返回后（即完成当前分支的探索），将最后加入路径的元素移除，回到上一层状态，尝试其他可能的选择。
对应代码：path.pop()
作用：撤销当前层的选择，保证路径的正确性，避免污染其他分支。
示例：组合问题中，当尝试完以 i 开头的所有组合后，移除 i，尝试下一个数字。
代码框架模板
function backtrack(路径, 选择列表) {if (满足终止条件) {将路径加入结果;return;}for (选择 in 选择列表) {做选择：将选择加入路径;backtrack(路径, 新的选择列表); // 进入下一层递归撤销选择：将选择从路径移除; // 回溯}
}关键点解析
-
路径的维护
path数组记录当前递归路径的选择，必须通过push和pop确保状态正确。 -
递归与回溯的关系
递归是纵向深入探索一条路径，回溯是横向尝试其他可能的选择。递归的终点是终止条件，回溯的触发点是递归返回后的pop。 -
剪枝优化
在组合问题中，通过以下两种剪枝大幅减少递归次数：-
剩余数字不足：
path.length + (9 - i + 1) < k
例如：如果还需要选 2 个数字，但剩余可用数字只有 1 个，直接终止。 -
和超过目标值：
sum + i > n
当前路径和已经超过n，无需继续递归
-
总结
该问题通过回溯算法枚举所有可能的组合，结合剪枝策略（剩余数字不足、和超过目标值）显著提高效率。核心在于：
-
递增选择数字：避免重复组合。
-
剪枝优化：减少不必要的递归调用。
-
回溯机制：撤销选择以尝试其他可能。
这种模式适用于许多组合问题，如子集、排列、组合总和等。