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比特币网站怎么做,优化流程,百度举报网站,教育部2024取消编导艺考定义与原理 ST表,即Sparse Table(稀疏表),是一种基于倍增思想的数据结构。它主要用于在**O(1)**时间复杂度内查询给定区间的最值(最大值或最小值)。其原理是通过预处理,利用倍增的思想&#xf…

定义与原理

  • ST表,即Sparse Table(稀疏表),是一种基于倍增思想的数据结构。它主要用于在**O(1)**时间复杂度内查询给定区间的最值(最大值或最小值)。其原理是通过预处理,利用倍增的思想,将每个区间的最值信息存储起来,以便后续快速查询。

实现方式

  • 预处理
    • 假设有一个长度为n的数组a,我们创建一个二维数组st,其中st[i][j]表示从第i个元素开始,长度为2^j的区间内的最值。
    • 初始化时,st[i][0] = a[i],即长度为1的区间的最值就是元素本身。
    • 然后通过动态规划的方式进行递推计算。对于j > 0,st[i][j] = max(st[i][j - 1], st[i + (1 << (j - 1))][j - 1])。这表示长度为2j的区间的最值,是由两个长度为2(j - 1)的子区间的最值取较大值(以最大值为例)得到的。
  • 查询
    • 当查询区间[i, j]的最值时,我们需要找到一个合适的k,使得2^k尽可能接近区间长度j - i + 1。
    • 可以通过计算k = log2(j - i + 1)得到。然后返回max(st[i][k], st[j - (1 << k) + 1][k])。这是因为区间[i, j]可以被拆分成两个重叠的子区间,一个是从i开始长度为2^k的区间,另一个是从j - (1 << k) + 1开始长度为2^k的区间,取这两个子区间的最值即可得到整个区间的最值。

代码示例

以下是用C++ 实现ST表求区间最大值的代码:

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;const int N = 100010;
int st[N][20];
int a[N];// 预处理ST表
void init(int n) {for (int i = 0; i < n; i++)st[i][0] = a[i];for (int j = 1; (1 << j) <= n; j++) {for (int i = 0; i + (1 << j) - 1 < n; i++) {st[i][j] = max(st[i][j - 1], st[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);}}
}// 查询区间[i, j]的最大值
int query(int i, int j) {int k = log2(j - i + 1);return max(st[i][k], st[j - (1 << k) + 1][k]);
}int main() {int n, m;cin >> n >> m;for (int i = 0; i < n; i++)cin >> a[i];init(n);while (m--) {int l, r;cin >> l >> r;cout << query(l, r) << endl;}return 0;
}

应用场景

  • RMQ问题:即Range Minimum/Maximum Query,区间最值查询问题,是ST表最主要的应用场景。例如,在一个数组中频繁查询某个区间内的最大值或最小值。
  • 一些需要快速查询区间最值的算法中:如在计算最长公共前缀(LCP)数组等问题中,可以借助ST表来快速获取区间内的最小值等信息,从而优化算法的时间复杂度。

优缺点

  • 优点:查询速度快,时间复杂度为O(1),适用于多次查询静态区间最值的情况。空间复杂度相对较低,为O(nlogn),其中n是数组的长度。
  • 缺点:不支持动态修改数组元素的值,若要修改元素,需要重新进行预处理。预处理的时间复杂度较高,为O(nlogn),当数据量较大时,预处理时间可能会较长。

ST表是一种在解决区间最值问题上非常有效的数据结构,在许多算法竞赛和实际应用中都有广泛的应用。但在使用时需要根据具体问题的特点来权衡其优缺点,以确定是否适合使用ST表来解决问题。

http://www.dtcms.com/wzjs/21858.html

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