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数据结构之二叉树

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1. 什么是二叉树？

二叉树（Binary Tree）是一种特殊的树形数据结构，其中每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。二叉树可以为空（没有节点），或者由一个根节点和两棵互不相交的子树（左子树和右子树）组成。

二叉树的特点是：

• 每个节点最多有两个子节点。
• 左子树和右子树是有序的，不能互换。

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2. 基本概念

• 节点（Node）：二叉树的基本单位，包含数据域和指针域。
• 根节点（Root）：二叉树的顶层节点，没有父节点。
• 叶子节点（Leaf）：没有子节点的节点。
• 父节点（Parent）：有子节点的节点。
• 子节点（Child）：某个节点的直接下级节点。
• 深度（Depth）：从根节点到某个节点的路径长度（根节点的深度为0）。
• 高度（Height）：从某个节点到叶子节点的最长路径长度（叶子节点的高度为0）。
• 层次（Level）：根节点为第0层，其子节点为第1层，以此类推。

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3. 二叉树的基本形态

二叉树有以下几种基本形态：

1. 空树：没有节点的二叉树。
2. 只有一个根节点：根节点没有子节点。
3. 只有左子树：根节点只有左子节点，右子节点为空。
4. 只有右子树：根节点只有右子节点，左子节点为空。
5. 左右子树都存在：根节点同时有左子节点和右子节点。

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4. 二叉树的性质

二叉树具有以下重要性质：

1. 性质1：在二叉树的第 i 层上，最多有 2^i 个节点 (i >= 0)。
   • 例如：
     • 第 0 层最多有 2^0 = 1 个节点（根节点）。
     • 第 1 层最多有 2^1 = 2 个节点。
2. 性质2：深度为 k 的二叉树，最多有 2^(k+1) - 1 个节点 (k >= 0)。
   • 例如：
     • 深度为 0 的二叉树，最多有 2^(0+1) - 1 = 1 个节点。
     • 深度为 1 的二叉树，最多有 2^(1+1) - 1 = 3 个节点。
     • 深度为 2 的二树，最多有 2^(2+1) - 1 = 7 个节点。
3. 性质3：对于任意一棵二叉树，如果叶子节点数为 n0，度为 2 的节点数为 n2，则满足关系式：n0 = n2 + 1
   • 说明：
     • 叶子节点是指没有子节点的节点。
     • 度为 2 的节点是指有两个子节点的节点。
4. 性质4：具有 n 个节点的完全二叉树，其深度为：log2(n) 向下取整后加 1
   • 说明：
     • 完全二叉树是指除了最后一层外，其他层都是满的，最后一层的节点尽量靠左排列。
5. 性质5：对于一棵完全二叉树，如果对节点从 0 开始编号，则：
   • 父节点为 i，则：
     • 左子节点编号为 2*i + 1
     • 右子节点编号为 2*i + 2
   • 子节点编号为 i，则：
     • 父节点编号为 (i - 1) // 2 （整数除法）

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5. 特殊二叉树

1. 满二叉树（Full Binary Tree）：

   • 每一层的节点数都达到最大值，即第 i 层有 2^i 个节点。
   • 深度为 k 的满二叉树，总节点数为 2^(k+1) - 1。

2. 完全二叉树（Complete Binary Tree）：

   • 除了最后一层，其他层都是满的，且最后一层的节点尽量靠左排列。
   • 适合用数组存储。

3. 二叉搜索树（Binary Search Tree, BST）：

   • 左子树的所有节点值小于根节点值，右子树的所有节点值大于根节点值。
   • 中序遍历结果是有序的。

4. 平衡二叉树（Balanced Binary Tree）：

   • 任意节点的左右子树高度差不超过1。
   • 例如：AVL树、红黑树。

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6. 二叉树的存储

1. 链式存储：

   • 使用节点对象和指针表示二叉树。
   • 每个节点包含数据域和两个指针域（左子节点和右子节点）。

   struct TreeNode {int value;TreeNode* left;TreeNode* right;TreeNode(int val) : value(val), left(nullptr), right(nullptr) {}
   };
   

2. 顺序存储：

   • 使用数组存储完全二叉树。
   • 对于节点 i，左子节点为 2i + 1，右子节点为 2i + 2，父节点为 (i - 1) // 2（其中//表示整数除法）

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7. 二叉树的遍历

1. 前序遍历（Pre-order）：根 -> 左 -> 右
2. 中序遍历（In-order）：左 -> 根 -> 右
3. 后序遍历（Post-order）：左 -> 右 -> 根
4. 层次遍历（Level-order）：按层从上到下、从左到右访问节点。

7.1 前序遍历

void preOrderTraversal(TreeNode* root) {if (root == nullptr) return; // 递归终止条件cout << root->value << " ";  // 访问根节点preOrderTraversal(root->left);  // 遍历左子树preOrderTraversal(root->right); // 遍历右子树
}

7.2 中序遍历

void inOrderTraversal(TreeNode* root) {if (root == nullptr) return;   // 递归终止条件inOrderTraversal(root->left);  // 遍历左子树cout << root->value << " ";    // 访问根节点inOrderTraversal(root->right); // 遍历右子树
}

7.3 后序遍历

void postOrderTraversal(TreeNode* root) {if (root == nullptr) return;     // 递归终止条件postOrderTraversal(root->left);  // 遍历左子树postOrderTraversal(root->right); // 遍历右子树cout << root->value << " ";      // 访问根节点
}

7.4 层次遍历

#include <queue>void levelOrderTraversal(TreeNode* root) {if (root == nullptr) return;queue<TreeNode*> q;q.push(root); // 根节点入队while (!q.empty()) {TreeNode* node = q.front(); // 取出队首节点q.pop();cout << node->value << " "; // 访问当前节点if (node->left != nullptr) {q.push(node->left); // 左子节点入队}if (node->right != nullptr) {q.push(node->right); // 右子节点入队}}
}

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8. 应用场景

• 二叉搜索树：用于动态查找、插入和删除操作。
• 堆（Heap）：用于优先队列。
• 哈夫曼树：用于数据压缩。
• 表达式树：用于编译器的语法分析。

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9. 实例代码

1. 节点定义：使用 TreeNode 结构表示二叉树的节点，每个节点包含一个值指向左右子节点的指针。
2. 遍历方法：
   • 前序、中序、后序遍历使用递归实现。
   • 层次遍历使用队列实现，通过逐层访问节点。
3. 树的构建：createSampleTree 函数手动构建了一棵简单的完全二叉树。

#include <iostream>
#include <queue> // 用于层次遍历
using namespace std;// 定义二叉树的节点结构
struct TreeNode {int value;             // 数据域TreeNode* left;        // 左子节点指针TreeNode* right;       // 右子节点指针// 构造函数TreeNode(int val) : value(val), left(nullptr), right(nullptr) {}
};// 前序遍历：根 -> 左 -> 右
void preOrderTraversal(TreeNode* root) {if (root == nullptr) return;cout << root->value << " ";           // 访问根节点preOrderTraversal(root->left);        // 遍历左子树preOrderTraversal(root->right);       // 遍历右子树
}// 中序遍历：左 -> 根 -> 右
void inOrderTraversal(TreeNode* root) {if (root == nullptr) return;inOrderTraversal(root->left);         // 遍历左子树cout << root->value << " ";           // 访问根节点inOrderTraversal(root->right);        // 遍历右子树
}// 后序遍历：左 -> 右 -> 根
void postOrderTraversal(TreeNode* root) {if (root == nullptr) return;postOrderTraversal(root->left);       // 遍历左子树postOrderTraversal(root->right);      // 遍历右子树cout << root->value << " ";           // 访问根节点
}// 层次遍历：从到下，从左到右
void levelOrderTraversal(TreeNode* root) {if (root == nullptr) return;queue<TreeNode*> q; // 辅助队列q.push(root); // 根节点入队while (!q.empty()) {TreeNode* node = q.front(); // 获取队首节点q.pop();                    // 出队cout << node->value << " "; // 访问当前节点if (node->left != nullptr) {q.push(node->left);     // 左子节点入队}if (node->right != nullptr) {q.push(node->right);    // 右子节点入队}}
}// 创建一个简单的二叉树
TreeNode* createSampleTree() {// 创建节点TreeNode* root = new TreeNode(1);root->left = new TreeNode(2);root->right = new TreeNode(3);root->left->left = new TreeNode(4);root->left->right = new TreeNode(5);root->right->left = new TreeNode(6);root->right->right = new TreeNode(7);return root; // 返回根节点
}int main() {// 创建示例二叉树TreeNode* root = createSampleTree();// 打印各类遍历结果cout << "前序遍历 (Pre-order): ";preOrderTraversal(root);cout << endl;cout << "中序遍历In-order): ";inOrderTraversal(root);cout << endl;cout << "后序遍历 (Post-order): ";postOrderTraversal(root);cout << endl;cout << "层次遍历 (Level-order): ";levelOrderTraversal(root);cout << endl;return 0;
}

9.1 示例树结构

程序中创建的二叉树结构如下：

      1/   \2     3/ \   / \4   5 6   7

9.2 输出结果

运行以上代码后，输出结果如下：

前序遍历 (Pre-order): 1 2 4 5 3 6 7
中序遍历 (In-order): 4 2 5 1 6 3 7
后序遍历 (Post-order): 4 5  6 7 3 1
层次遍历 (Level-order): 1 2 3 4 5 6 7