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1、题目描述：

有 n 个城市，其中一些彼此相连，另一些没有相连。如果城市 a 与城市 b 直接相连，且城市 b 与城市 c 直接相连，那么城市 a 与城市 c 间接相连。

省份 是一组直接或间接相连的城市，组内不含其他没有相连的城市。

给你一个 n x n 的矩阵 isConnected ，其中 isConnected[i][j] = 1 表示第 i 个城市和第 j 个城市直接相连，而 isConnected[i][j] = 0 表示二者不直接相连。

返回矩阵中 省份 的数量。

示例 1：

输入：isConnected = [[1,1,0],[1,1,0],[0,0,1]]
输出：2

示例 2：

输入：isConnected = [[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]
输出：3

提示：

• 1 <= n <= 200
• n == isConnected.length
• n == isConnected[i].length
• isConnected[i][j] 为 1 或 0
• isConnected[i][i] == 1
• isConnected[i][j] == isConnected[j][i]

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2、代码：

#include <vector>
#include <functional>  // 用于lambda表达式using namespace std;class Solution {
public:int findCircleNum(vector<vector<int>>& isConnected) {// 获取城市数量int n = isConnected.size();if (n == 0) return 0;// 初始化并查集数据结构vector<int> parent(n);   // parent[i]表示i的父节点vector<int> rank(n, 1); // rank[i]表示以i为根的树的高度（用于按秩合并）// 初始时每个城市自成一类，父节点指向自己for (int i = 0; i < n; ++i) {parent[i] = i;}// 查找函数（带路径压缩）// 作用：找到x的根节点，并将路径上的节点直接指向根（降低后续查找复杂度）function<int(int)> find = [&](int x) {if (parent[x] != x) {parent[x] = find(parent[x]);  // 递归压缩路径}return parent[x];};// 合并函数（按秩合并优化）// 作用：将x和y所在的集合合并为一个集合auto unite = [&](int x, int y) {int rootX = find(x);  // 找到x的根int rootY = find(y);  // 找到y的根// 关键修复：必须检查根是否相同，否则会导致错误合并if (rootX == rootY) return;  // 已在同一集合中，无需合并// 按秩合并：将小树合并到大树下以保持平衡if (rank[rootX] < rank[rootY]) {parent[rootX] = rootY;  // 将rootX的父设为rootY} else {parent[rootY] = rootX;  // 将rootY的父设为rootX// 若两树高度相同，合并后树的高度+1if (rank[rootX] == rank[rootY]) {++rank[rootX];  // 仅在两树同高时增加秩}}};// 遍历邻接矩阵的上三角部分（利用对称性避免重复处理）for (int i = 0; i < n; ++i) {for (int j = i + 1; j < n; ++j) {  // 仅处理i<j的情况if (isConnected[i][j] == 1) {  // 发现相连城市unite(i, j);  // 合并集合}}}// 统计连通分量数量（即根节点数量）int provinces = 0;for (int i = 0; i < n; ++i) {// 根节点的特征是：find(i) == iif (find(i) == i) {++provinces;}}return provinces;}
};

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3、解题思路：

注：该题建议使用并查集的思想去解决，因为并查集就是用来解决与动态连通性相关的问题

1. 初始化并查集：每个城市初始时独立，父节点指向自己，秩初始化为1。
2. ​查找函数（带路径压缩）​：递归查找根节点，并将路径上的节点直接连接到根节点，减少后续查找时间。
3. ​合并函数（按秩合并）​：根据秩的大小合并两个集合，保持树的平衡性，避免树过高。
4. ​遍历邻接矩阵：仅处理上三角部分，避免重复合并相连的城市对。
5. ​统计连通分量：遍历所有城市，统计根节点的数量，每个根节点代表一个省份。