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wzjs 2025/7/19 21:01:25

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文章目录

- 一、何为带环链表
- - 1.1 带环链表的定义
  - 1.2 典型示例
- 二、环路检测：Floyd判圈算法
- - 2.1 快慢指针实现
  - 2.2 算法特性
- 三、数学证明与深度解析
- - 3.1 步长差为1的必然性证明（快2步/慢1步）
  - 3.2 广义步长分析（快n步/慢1步）
- 四、环入口定位定理
- - 4.1 双指针定位法
  - 4.2 定理证明
- 五、复杂度
- 六、LeetCode实战

一、何为带环链表

1.1 带环链表的定义

由节点构成的链式结构中存在至少一个节点，其指针域指向链表中已存在的节点，形成闭合环路。特征：

环路结构：尾节点不指向NULL而指向历史节点
遍历特性：从任意环内节点出发将陷入无限循环

1.2 典型示例

二、环路检测：Floyd判圈算法

如何判断是否为带环链表？

2.1 快慢指针实现

bool hasCycle(struct ListNode *head) {struct ListNode *fast = head, *slow = head;while(fast && fast->next) {fast = fast->next->next;slow = slow->next;if(fast == slow) return true;}return false;
}

2.2 算法特性

时间复杂度：O(n)，线性扫描
空间复杂度：O(1)，仅用两个指针

三、数学证明与深度解析

3.1 步长差为1的必然性证明（快2步/慢1步）

为什么slow走一步，fast走两步它们会相遇呢？会不会错过呢？请证明。

假设slow刚进环时，fast与siow之间距离为N。

slow进环后，fast开始追击slow，它们的速度差为1，也就是说，slow每走一步，它们的距离缩小1。

fast和slow的距离：
$N - > N - 1 - > N - 2 - > \dots \dots - > 2 - > 1 - > 0$
初始条件：

环周长：C
入环前路径长：L
相遇时快指针绕环次数：n

运动方程：
$\begin{cases} v_{\text{fast}} = 2v_{\text{slow}} \\ S_{\text{fast}} = L + X + nC \\ S_{\text{slow}} = L + X \end{cases}$

推导结论：
$\Rightarrow L = nC - X$

3.2 广义步长分析（快n步/慢1步）

为什么slow走一步，fast走n（n>=3）步它们会相遇呢？会不会错过呢？请证明。

假设slow刚进环时，fast与siow之间距离为N，slow每走一步，fast走3步。

slow进环后，fast开始追击slow，它们的速度差为1，也就是说，slow每走一步，它们的距离缩小2。

分情况讨论：

N为偶数
fast和slow的距离：
$N - > N - 2 - > N - 4 - > \dots \dots - > 2 - > 1 - > 0$
可以追上

N为奇数

 N -> N-2 -> N-4 ->……-> 3 -> 1 -> -1fast跳到slow前面第一个位置，此时N发生变化,进行新的一轮追击。假设环的周长为C,新的距离为N2=C-1 再次分情况讨论：1. N2为偶数fast和slow的距离N2 -> N2-2 -> N2-4 ->……-> 2 -> 1 -> 0可以追上2. N2为奇数N2 -> N2-2 -> N2-4 ->……-> 3 -> 1 -> -1fast又跳到slow前面第一个位置这里没必要继续进行追击了，因为C是定值，C-1的奇偶性是已经确定了的，是奇数的话永远无法追上。

设速度差为(n-1)，相遇条件：
$\equiv 0 \mod (n-1)$
其中N为初始距离差。当n

2时可能出现：

死锁情况：当N与速度差互质时无法相遇
稳定性：仅当n=2时保证绝对收敛

重要结论：步长差为1是唯一确保必然相遇的方案

四、环入口定位定理

让一个指针从链表起始位置开始遍历链表，同时让一个指针从判环时相遇点的位置开始绕环运行，两个指针都是每次均走一步，最终肯定会在入口点的位置相遇。

4.1 双指针定位法

struct ListNode *detectCycle(struct ListNode *head) {struct ListNode *fast = head, *slow = head;while(fast && fast->next) {fast = fast->next->next;slow = slow->next;if(slow == fast) {struct ListNode *start = head, *meet = slow;while(start != meet) {start = start->next;meet = meet->next;}return meet;}}return NULL;
}